Consideriamo una funzione reale di una variabile reale continua in un dominio \( X \subseteq {\mathbb R } \). \( f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R} \). Vogliamo trovare un modo per calcolare come la funzione \( y \) varia, quando facciamo variare seppur di poco la variabile indipendente \( x \). Possiamo fare un esempio pratico per capire di cosa ci stiamo occupando:

Se ad esempio ad una festa di compleanno alle 17:00 ci sono 3 persone ed alle 18:00 ce n'è sono 9, possiamo valutare come cambia il numero di ospiti al trascorrere delle ore, infatti possiamo dire che \( \frac{9 - 3}{18 - 17} = 6 \) (ogni ora il numero di persone aumenta di 6).

Introduciamo ora lo strumento con cui si sviluppa il concetto di derivata, ossia il rapporto incrementale. A tal proposito consideriamo due punti \( x \) e \( \xi \) appartenenti al dominio della funzione tali che \( x \neq \xi \), abbiamo che: $$ {\LARGE \color{#008080}{\frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x} } } $$ Questo rapporto misura come varia l'output della funzione rispetto a come varia l'input, infatti a numeratore abbiamo la differenza tra la funzione valutata in un punto arbitrario \( \xi \) meno il valore della funzione in un punto di riferimento \( x \), mentre a denominatore abbiamo lo scarto tra \( x \) e \( \xi \) (ossia di quanto ci siamo spostati da \( x \)). Questo rapporto pertanto è chiamato rapporto incrementale della funzione. Possiamo esprimerlo diversamente: molti autori ad esempio, apprezzano altre notazioni: $$ {\large \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x} } $$ Dove con il simbolo \( \Delta \)(delta), si intende la variazione della variabile alla destra, riferendoci alla notazione di partenza abbiamo che \( \Delta x = \xi - x \). In questo modo possiamo passare da una notazione all'altra.

Vediamo ora graficamente cosa rappresenta il rapporto incrementale:

Riferendoci al triangolo rettangolo \( ABC \), il rapporto incrementale che corrisponde al rapporto tra i due cateti \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \), rappresenta la pendenza della retta passante per i punti \( A \) e \( B \), e pertanto l'informazione che esso ci da è la semplice approssimazione lineare della curva nell'intervallo \( \Delta x = \xi - x \), o in altri termini il valore medio della funzione nel suddetto intervallo.

Facciamo ora la seguente operazione, che ci permetterà di giungere alla derivata:
Immaginiamo di far avvicinare il punto \( \xi \) al punto \( x \), si dice in gergo che (\( \xi \) tende ad \( x \)) o in simboli: \( \xi \rightarrow x \); il che è equivalente a dire che l'incremento \( \Delta x \rightarrow 0 \) (tende a zero). La domanda è: Cosa succede al grafico operando in questo modo? Il punto \( \xi \) si avvicinerà sempre più ad \( x \) ed il valore di \( f(\xi)\) a quello di \( f(x) \), di conseguenza la retta secante i due punti si approssimerà alla retta tangente ad \( A \) e gli incrementi \( \Delta x \) e \( \Delta y \) diverranno degli incrementi infinitesimi \( dx \) e \( dy \). Questo procedimento si chiama: passaggio al limite e si indica: $$ {\large lim_{\xi \rightarrow x}\frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x} = \frac{dy}{dx} } $$

Se questo limite esiste ed è finito ( \( < \infty \) ) esso si chiama: derivata della funzione nel punto x e si indica con una delle seguenti notazioni: