La regola di Cavalieri-Simpson, si ottiene suddividendo la funzione da integrare in coppie ed interpolando con un polinomio interpolatore di grado due. L'integrale sarà la somma dei singoli integrali sulle coppie.

$$ I \approx \sum_{j \hspace{1mm}pari} \int_{x_{j-i}}^{x_{j+1}} \Pi_2(x) dx$$ Possiamo sostituire allora, la nostra \(f(x)\) con il polinomio interpolatore di grado due ed integrare sull'intervallo a coppia: $$ \int_{x_{j-i}}^{x_{j+1}} f(x)dx = \int_{x_{j-i}}^{x_{j+1}} \Pi_2(x) dx $$ Il polinomio \(\Pi_2(x) \) è un polinomio interpolatore di grado due: $$ \Pi_2(x) = \sum_{i=j-1}^{j+1}y_i\mathcal L_i(x)$$ $$ y_{j-1}\prod_{k=0, k\neq j-1}^{j+1}{x-x_k \over x_{j-1}-x_k} + y_{j}\prod_{k=0, k\neq j}^{j+1}{x-x_k \over x_{j}-x_k} + y_{j+1}\prod_{k=0, k\neq j+1}^{j+1}{x-x_k \over x_{j+1}-x_k} $$ $$ \small y_{j-1}{x-x_j \over x_{j-1}-x_j}{x-x_{j+1}\over x_{j-1}-x_{j+1}} + y_{j}{x-x_{j-1} \over x_{j}-x_{j-1}}{x-x_{j+1} \over x_{j}-x_{j+1}} + y_{j+1}{x-x_{j} \over x_{j+1}-x_j}{x-x_{j-1} \over x_{j+1}-x_{j-1}} $$
Calcolando l'integrale del polinomio interpolatore:
$$ \int_{j-1}^{j+1} y_{j-1}{x-x_j \over x_{j-1}-x_j}{x-x_{j+1}\over x_{j-1}-x_{j+1}} + y_{j}{x-x_{j-1} \over x_{j}-x_{j-1}}{x-x_{j+1} \over x_{j}-x_{j+1}} + y_{j+1}{x-x_{j} \over x_{j+1}-x_j}{x-x_{j-1} \over x_{j+1}-x_{j-1}} dx $$
Si ottiene la formula di Cavalieri-Simpson $$ {h\over 3}\left[ f(x_0) + f(x_n) +2\sum_{j=2}^{N-2}f(x_j) + 4\sum_{j=1}^{N-1}\right] $$ Con un errore: $$ \epsilon_{[x_{j-1}, x_{j+1}]} = -{1\over 90}f^{(4)}(x_j)h^5 $$