Sistema Ortogonale
Prendiamo uno spazio euclideo \( (V, \langle,\rangle) \) ed un sistema di vettori \( \bigl( e_1, e_2, \ldots, e_n\bigr) \). Diremo che questo sistema di vettori è ortogonale se per ogni coppia di vettori il loro prodotto scalare è nullo quando \( i\neq j \), mentre se i vettori sono equali il risultato sarà un numero maggiore di zero, infatti \(\langle e_i, e_i\rangle = ||e_i||^2 > 0\): $$ \langle e_i, e_j\rangle = 0 $$
Sistema Ortonormale
Un sistema di vettori \( \bigl( v_1, v_2, \ldots, v_n\bigr) \) si dice ortonormale se questa volta il prodotto scalare di die vettori è pari alla delta di kronecker
$$ \langle v_i, v_j\rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, i=j \\ 0, i \neq j \end{cases} $$
In sostanza se i vettori scelti sono lo stesso vettore, il prodotto scalare è \(1\), altrimenti è \(0\).
A partire da un sistema ortogonale, si puo sempre ottenere il sistema ortonormale effettuando un procedimento di normalizzazione dei vettori
$$ e_i = {v_i \over ||v_i||} $$
Coefficienti di Fourier - Disuguaglianza di Bessel
Dato un generico vettore \( x \in V \) ed un sistema ortonormale \( \bigl( v_1, v_2, \ldots, v_n\bigr) \), si definiscono coefficienti di Fourier (di \(x\) nel sistema (\(v_i\))), i prodotti scalari di \(x\) con ciascun \(v_i\): $$ \xi_i = \langle v_i, x \rangle $$
Consideriamo ora due vettori: $$ v = \sum_{i=1}^n v_i\xi_i = \sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle \hspace{2cm} w = x - v $$
La sua norma quadra sarà: $$ ||w||^2 = ||x - v||^2 = \left|\left|x-\sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle\right|\right|^2 = \left\langle x-\sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle, x-\sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle \right\rangle $$
$$ \small \left\langle x-\sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle, x \right\rangle - \left\langle x-\sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle, \sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle \right\rangle = $$ $$ \small \left\langle x, x \right\rangle - \left\langle \sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle, x \right\rangle - \left\langle x, \sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle \right\rangle + \left\langle \sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle, \sum_{i=1}^n v_i \langle v_i, x \rangle \right\rangle = $$ $$ ||x||^2 -\sum_{i=1}^n\xi_i^* \langle v_i, x \rangle -\sum_{i=1}^n\xi_i \langle x, v_i \rangle + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \xi_i^*\xi_j\langle v_i, v_j\rangle = $$ $$ = ||x||^2 -\sum_{i=1}^n\xi_i^* \xi_i -\sum_{i=1}^n\xi_i \xi_i^* + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \xi_i^*\xi_j\delta_{ij} = $$ $$ \require{cancel} $$ $$ = ||x||^2 -\sum_{i=1}^n\xi_i^* \xi_i \cancel{-\sum_{i=1}^n\xi_i \xi_i^*} + \cancel{\sum_{i=1}^n\xi_i^*\xi_i} $$ $$ ||x - v||^2 = ||x||^2 -\sum_{i=1}^n|\xi_i|^2 \geq 0$$Questa è la Disuguaglianza di Bessel che dipende dalle caratteristiche del prodotto scalare.
$$ ||x||^2 \geq \sum_{i=1}^n|\xi_i|^2 $$Identità di Parseval
Se in uno spazio munito di prodotto scalare vale l'uguale nella disuguaglianza di Bessel, si ottiene l'identità di Parseval
$$ ||x||^2 = \sum_{i=1}^n|\xi_i|^2 $$ Questa uguaglianza significa che per ogni vettore \(x\), si ha che \( ||x - v||^2 = 0\), infatti l'uguaglianza di Parseval significa \( ||x - v||^2 = ||x||^2 -\sum_{i=1}^n|\xi_i|^2 = 0 \), ossia: \(||x||^2 = \sum_{i=1}^n|\xi_i|^2\). Avere \( ||x - v||^2 = 0 \) significa avere \( x - v = 0 \) e cioè \(x=v\), di conseguenza: $$ x = \sum_{i=1}^n v_i\xi_i $$ In sostanza se vale questa uguaglianza, il sistema di vettori \( \bigl( v_1, v_2, \ldots, v_n\bigr) \) sarà una base ortonormale. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema di vettori sia una base in uno spazio euclideo è che valga l'identità di Parseval per ogni vettore \( x \in V\).