Uno spazio vettoriale è completo, quando tutte le succissioni di Cauchy convergono in esso. Vogliamo dimostrare che, data una generica successione di Cauchy \( \{ z^{(m)} \}_{m\in \mathbb N} \) di vettori di \(l_2\), tale successione è convergente. Anzitutto "dire successione di vettori di \(l_2\) significa dire, successione di successioni, nel senso che ogni vettore di \(l_2\) è una successione. Indichiamo con \(m\) l'indice che conteggia la successione in \(l_2\), mentre con \(n\), l'indice della successione avendo fissato \(m\) ossia: \( \{ z^{(m)}_n \}_{n\in \mathbb N} \). $$ $$ $$ $$ Fissando un certo indice \(\overline{n} \in \mathbb N \), naturalmente vale la seguente maggiorazione: $$ \left|z^{(m)}_{\overline{n}} - z^{(m')}_{\overline{n}}\right| \leq \sqrt{\sum_{n=1}^\infty\left|z^{(m)}_n-z^{(m')}_n\right|^2} <\epsilon $$ In sostanza la successione "di componenti" \( \{ z^{(m)}_n \}_{m\in \mathbb N} \in \mathbb C \) è fondamentale, e siccome \( \mathbb C \) è completo, questa successione converge in \( \mathbb C \). $$ z_{\overline{n}} = \lim_{m\to \infty} z^{(m)}_{\overline{n}} $$ In sostanza per ciascun \( \overline{n} \) fissato, esiste il limite della relativa successione delle componenti. Costruiamo una nuova successione dei limiti che indicheremo \(z = \{ z_n \}_{n\in \mathbb N} = \left\{ \lim_{m\to \infty} z^{(m)}_{n} \right\}_{n\in \mathbb N} \) . $$ \diamond\diamond $$ $$ $$ Convergenza in \(l_2\)

Bisogna dimostrare che \(z \in l_2\). Dire che \(z \in l_2\) significa dire che la serie \( \sum_{n=1}^\infty|z_n|^2 < \infty \). In altre parole: $$ \sum_{n=1}^\infty|z_n|^2 = \lim_{M\to\infty} \sum_{n=1}^M|z_n|^2 < \infty $$ Scegliamo un certo \( \overline{m} > m_\epsilon \). Allora possiamo scrivere: $$ \small 0 \leq \sum_{n=1}^M\left|z_n\right|^2 = \sum_{n=1}^M\left|z_n - z_n^{(\overline{m})} + z_n^{(\overline{m})}\right|^2 \leq 2\sum_{n=1}^M\left|z_n - z_n^{(\overline{m})}\right|^2 + 2\sum_{n=1}^M\left|z_n^{(\overline{m})}\right|^2 \leq $$ $$ \small \leq 2\sum_{n=1}^M\left|z_n - z_n^{(\overline{m})}\right|^2 + \color{#008080}{2\left|\left|z^{(\overline{m})}\right|\right|^2} $$ Il termine in verde, essendo una quantità finita non incide sulla maggiorazione, possiamo ignorarlo ai fini della dimostrazione e concentrarci solo sul termine a sinistra (mostriamo che esso è finito):

Supponiamo per assurdo che \( \sum_{n=1}^M\left|z_n - z_n^{(\overline{m})}\right|^2 \) non sia limitato, questo significherebbe che: $$ \small \forall D>0 \hspace{1mm} \exists \hspace{1mm} M_D \in \mathbb N \hspace{1mm} t.c. \hspace{1mm} \forall M > M_D \hspace{1mm} \Rightarrow \hspace{1mm} \sum_{n=1}^M\left|z_n - z_n^{(\overline{m})}\right|^2 \geq D $$ Scegliamo allora un generico \(\overline{M} > M_D\) ed un certo \(\overline{\overline{m}} \in \mathbb N\): $$ \small D \leq \sum_{n=1}^\overline{M}\left|z_n - z_n^{(\overline{m})} - z_n^{(\overline{\overline{m}})} + z_n^{(\overline{\overline{m}})} \right|^2 \leq $$ $$\small \leq 2\sum_{n=1}^\overline{M}\left|z_n - z_n^{(\overline{\overline{m}})} \right|^2 + 2\sum_{n=1}^\overline{M}\left|z_n^{(\overline{m})} - z_n^{(\overline{\overline{m}})} \right|^2 \leq 2\sum_{n=1}^\overline{M}\left|z_n - z_n^{(\overline{\overline{m}})} \right|^2 + \color{#008080}{2\left|\left|z_n - z_n^{(\overline{\overline{m}})} \right|\right|^2} $$ Il termine in verde, converge ad una quantità finita quando \( \overline{M}\rightarrow \infty \). Concentriamoci sul termine a sinistra. Avremo che: $$ $$ $$ \small z_1 = \lim_{m\to\infty}z_1^{(m)} \rightarrow \forall \epsilon >0 \hspace{1mm} \exists \hspace{1mm} \nu_1\in \mathbb N \hspace{1mm} t.c. \hspace{1mm} \forall M > \nu_1, |z_1-z_1^{(m)}|^2 < {\epsilon^2} $$ $$ \small z_2 = \lim_{m\to\infty}z_2^{(m)} \rightarrow \forall \epsilon >0 \hspace{1mm} \exists \hspace{1mm} \nu_2\in \mathbb N \hspace{1mm} t.c. \hspace{1mm} \forall M > \nu_2, |z_2-z_2^{(m)}|^2 < {\epsilon^2} $$ $$ \small z_3 = \lim_{m\to\infty}z_3^{(m)} \rightarrow \forall \epsilon >0 \hspace{1mm} \exists \hspace{1mm} \nu_3\in \mathbb N \hspace{1mm} t.c. \hspace{1mm} \forall M > \nu_3, |z_3-z_3^{(m)}|^2 < {\epsilon^2} $$ $$ \vdots $$ $$ \small z_{\overline{M}} = \lim_{m\to\infty}z_{\overline{M}}^{(m)} \rightarrow \forall \epsilon >0 \hspace{1mm} \exists \hspace{1mm} \nu_{\overline{M}}\in \mathbb N \hspace{1mm} t.c. \hspace{1mm} \forall M > \nu_{\overline{M}}, |z_{\overline{M}}-z_{\overline{M}}^{(m)}|^2 < {\epsilon^2} $$ $$ $$ Se scegliamo \( \overline{\overline{m}} > max\{ \nu_1, \nu_2, \nu_3, \ldots, \nu_{\overline{M}}\} \) allora (scegliendo \(D > \epsilon^2 \) si arriva all'assurdo (quindi questo mostra che la quantità deve essere finita e quindi che \(z\in l_2\)): $$ \epsilon^2 < D \leq 2\sum_{n=1}^\overline{M}\left|z_n - z_n^{(\overline{\overline{m}})} \right|^2 + \color{#008080}{2\left|\left|z_n - z_n^{(\overline{\overline{m}})} \right|\right|^2} < \epsilon^2 $$

$$ \diamond\diamond $$ $$ $$ Convergenza nella norma di \(l_2\)
Bisogna ora, mostrare che \( \lim_{m\to\infty}||z-z^{(m)}|| = 0 \), nella norma di \(l_2\). In altre parole: $$ \forall \epsilon > 0 \exists \nu_\epsilon \in \mathbb N, t.c.: \forall M>\nu_\epsilon, ||z-z^{(m)}||^2 < \epsilon^2 $$ Prendiamo un \( \overline{m}> m_\epsilon \) (dalla condizione di Cauchy), allora la serie a destra sappiamo essere convergente (abbiamo mostrato al passo 2 che \(z\in l_2\)): $$ ||z-z^{(\overline{m})}||^2 = \sum_{n=1}^\infty|z_n-z_n^{(\overline{m})}|^2 < \infty $$ $$ \lim_{M\to\infty} \left\{ \sum_{n=1}^\infty|z_n-z_n^{(\overline{m})}|^2 - \sum_{n=1}^M|z_n-z_n^{(\overline{m})}|^2 \right\} = \lim_{M\to\infty}\sum_{n=M+1}^\infty|z_n-z_n^{(\overline{m})}|^2 = 0 $$ Questo comporta che per ogni \( \epsilon > 0 \) esiste un certo \(M_\epsilon\) tale che per ogni \(M > M_\epsilon \): $$ \sum_{n=M+1}^\infty|z_n-z_n^{(\overline{m})}|^2 < \epsilon ^2 $$ Quindi: $$ \sum_{n=1}^\infty|z_n-z_n^{(\overline{m})}|^2 < \sum_{n=1}^M|z_n-z_n^{(\overline{m})}|^2 + \epsilon ^2 $$ Se riprendiamo un generico \( \overline{\overline{m}} \), possiamo ripetere il ragionamento sul termine rimanente \( \small \sum_{n=1}^M|z_n-z_n^{(\overline{m})}|^2 \): $$ \sum_{n=1}^M|z_n-z_n^{(\overline{m})}|^2 = \sum_{n=1}^M|z_n-z_n^{(\overline{\overline{m}})}+z_n^{(\overline{\overline{m}})}-z_n^{(\overline{m})}|^2 \leq $$ $$ \leq 2\sum_{n=1}^M|z_n-z_n^{(\overline{\overline{m}})}|^2+ 2\sum_{n=1}^M|z_n^{(\overline{\overline{m}})}-z_n^{(\overline{m})}|^2 $$ Se scegliamo \( \overline{\overline{m}} > max\{ \nu_1, \nu_2, \nu_3, \ldots, m_\epsilon \} \) (come sopra), finalmente arriviamo alla conclusione: $$||z-z^{(\overline{m})}||^2 < 2\sum_{n=1}^M|z_n-z_n^{(\overline{\overline{m}})}|^2+ 2||z^{(\overline{\overline{m}})}-z^{(\overline{m})}||^2 + \epsilon^2 < \epsilon^2 $$ $$ \square $$