Nuclei di Giuseppe Sottile

Il grande fisico e matematico Paul Dirac famoso per i suoi innumerevoli contributi in meccanica quantistica ed in molte aree della matematica definì per caso [...] un oggetto matematico con delle speciali caratteristiche, molto utile per descrivere diversi concetti impulsivi astratti es masse, cariche puntiformi; un oggetto che aprì la strada a nuovi sviluppi e punti di vista - stiamo parlando della delta di Dirac abbreviata $ \delta $ che di seguito analizzeremo più in dettaglio.

In effetti, molto spesso è prassi comune tra i fisici(specie i quantistici ;)), parlare di "funzione delta", pur essendo consci che non si tratta affatto di una funzione nel senso ordinario del termine, ma di un concetto più sofisticato: ovvero, di una «distribuzione». Di seguito daremo la definizione di delta nel senso delle distribuzioni e ci limiteremo ad una sola dimensione con qualche accenno al caso multidimensionale, resta il fatto i metodi qui esposti sono del tutto generali.

$ \diamond $ Definizione

Si potrebbe apparentemente definire la delta come una funzione che vale zero dappertutto esclusa l'origine in cui vale $ \infty $. Intuitivamente è così' che vanno le cose, ma una funzione con queste proprièta non esiste. Quello che si fà è approssimare il comportamento della delta nell'origine, con una successione di funzioni (e qui si tratta di funzioni ordinarie), con delle caratteristiche che mostreremo di seguito:

Consideriamo una funzione porta, come in figura tale che valga $ 0 $ ovunque, tranne nell'intervallo $ [-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}] $, centrato nell'origine dove vale $ \frac{1}{a} $. $$ p_a[x] := \begin{cases} x = 1/a: \hspace{5mm} -\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2} \\ x = 0: \hspace{5mm} altrimenti \\ \end{cases} $$

Questa semplicissima funzione ha una speciale proprietà: L'area di questa figura, la possiamo calcolare banalmente e vale: $ \left( \frac{a}{2} - \left(-\frac{a}{2} \right) \right) \frac{1}{a} = {\large 1} $.
Area $ 1 $! Apparentemente non c'è nulla di particolare in questa funzione a maggior ragione il fatto che l'area valga 1 - ma ora effettuiamo la seguente operazione: un passaggio al limite: - Immaginiamo di restringere l'intervallo $ [-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}] $, semplicemente diminuendo il valore di $a $ arbitrariamente, quello che succede per alcuni valori di $ a $ e che otteniamo rettangoli sempre piu stretti ed alti di area sempre 1, come mostrato in basso:

$ a = 1 $

$ a = \frac{1}{2} $

$ a = \frac{1}{3} $

$ a = \frac{1}{8} $

Naturalmente, per come abbiamo fatto vedere, l'area vale sempre 1, indipendentemente dal valore di a, possiamo perciò mostrare i grafici sovrapposti mostrandone il loro comportamento quando $ a \rightarrow 0 $; passando al limite si ottiene:

$$ {\large \lim_{a \to 0} p_a[x]} $$

Nel limite per $ a \rightarrow 0 $ si ottiene la $ {\large \delta} $ di Dirac. Per rappresentare in un riferimento cartesiano una delta di Dirac si usa tracciare una freccia rivolta verso l'alto centrata in un punto come nella figura in basso. (Nel nostro esempio in 0). Possiamo comunque centrare la delta in un qualunque punto operando una traslazione; es: la delta centrata in $ x_0 $ si scrive come: $ \delta(x-x_0) $, quella centrata in $ -x_0 $ si scrive come: $ \delta(x+x_0) $.

$ \diamond $ Proprietà della $ \delta $

Analizziamo ora in dettaglio le principali propriètà della delta di Dirac, la più semplice delle quali deriva direttamente dalla definizione stessa:

In un qualunque punto del dominio, l'integrale della delta vale 1.

$${\large \int_{-\infty}^\infty \delta(x-x_0)dx = {\mathbb 1} }$$