Consideriamo un campo scalare \( \Phi \) e calcoliamone il gradiente

$$ \nabla(\Phi) = \frac{\partial(\Phi)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial z}\hat{k} $$ $$ \nabla(\Phi) = \frac{\partial(\Phi)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial z}\hat{k} $$ $$ \nabla(\Phi) $$ $$ \downarrow $$ $$\frac{\partial(\Phi)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial z}\hat{k} $$ Ora prendiamo il campo gradiente e facciamone la sua divergenza; ciò è in perfetto accordo con la compatibilità tra operatori, nel senso che tale operazione è possibile in quanto stiamo calcolando la divergenza di un campo vettoriale. $$ div(\nabla(\Phi)) = \nabla(\nabla\cdot\Phi) = div\left(\frac{\partial(\Phi)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial z}\hat{k}\right) $$ $$ div(\nabla(\Phi)) = \nabla(\nabla\cdot\Phi) = div\left(\frac{\partial(\Phi)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial z}\hat{k}\right) $$ $$ div(\nabla(\Phi)) = \nabla(\nabla\cdot\Phi) $$ $$ \downarrow $$ $$ div\left(\frac{\partial(\Phi)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial z}\hat{k}\right) $$ ma fare la divergenza di un campo, come abbbiamo visto (in coordinate cartesiane), equivale a calcolare la sommatoria delle derivate parziali delle componenti (rispetto alle componenti stesse):

$$ div(\nabla(\Phi)) = \frac{\partial(\nabla\Phi)_x}{\partial x} + \frac{\partial(\nabla\Phi)_y}{\partial y} + \frac{\partial(\nabla\Phi)_z}{\partial z} = $$ $$ = \frac{\partial(\frac{\partial\Phi}{\partial x})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{\partial\Phi}{\partial y})}{\partial y} + \frac{\partial(\frac{\partial\Phi}{\partial z})}{\partial z} $$ $$ div(\nabla(\Phi)) = \frac{\partial(\nabla\Phi)_x}{\partial x} + \frac{\partial(\nabla\Phi)_y}{\partial y} + \frac{\partial(\nabla\Phi)_z}{\partial z} = $$ $$ = \frac{\partial(\frac{\partial\Phi}{\partial x})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{\partial\Phi}{\partial y})}{\partial y} + \frac{\partial(\frac{\partial\Phi}{\partial z})}{\partial z} $$ $$ div(\nabla(\Phi)) $$ $$ \downarrow $$ $$ \frac{\partial(\nabla\Phi)_x}{\partial x} + \frac{\partial(\nabla\Phi)_y}{\partial y} + \frac{\partial(\nabla\Phi)_z}{\partial z} $$ $$ \downarrow $$ $$ \frac{\partial(\frac{\partial\Phi}{\partial x})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{\partial\Phi}{\partial y})}{\partial y} + \frac{\partial(\frac{\partial\Phi}{\partial z})}{\partial z} $$ Riformulando il calcolo secondo le derivate parziali seconde otteniamo la formula del laplaciano in coordinate cartesiane $$ {\large \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2} } $$ la relazione vettoriale si puo scrivere usando il formalismo vettoriale come: