Spazi Euclidei a dimensione infinita

Supponiamo che $V$ sia uno spazio euclideo a dimensione infinita: $ dim(V) = \infty $

Vettori linearmente indipendenti

Se la dimensione è infinita, un sistema di vettori $ \Sigma= \{e_1, e_2, ... e_n, ...\} $ è linearmente indipendente, se:

Per ogni sistema $\Sigma_M = \{e_{j_1}, e_{j_2}, ... e_{j_M}\}$ estratto dai precedenti "$ \Sigma_M \subset \Sigma $", allora questo sistema è linearmente indipendente.

Vettori ortonormali

Se la dimensione è infinita, un sistema di vettori $ \Sigma= \{v_1, v_2, ... v_n, ...\} $ è ortonormale, se:

Per ogni sistema $\Sigma_M = \{v_{j_1}, v_{j_2}, ... v_{j_M}\}$ estratto dai precedenti "$ \Sigma_M \subset \Sigma $", allora questo sistema è ortonormale. Quindi, anche per un insieme di vettori ortonormali di uno spazio a dimensione infinita vale che: $$ \langle v_i, v_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, i = j \\ 0, i\neq j \end{cases} $$

Coefficienti di Fourier - Disuguaglianza di Bessel

Mettiamoci in uno spazio euclideo $V$ a dimensione infinita e prendiamo un sistema $ \Sigma= \{v_1, v_2, ... v_n, ...\} $ ortonormale.

Prendiamo un vettore generico $x \in V$ e definiamo come nel caso finito il coefficiente di Fourier $n$-esimo $$ \xi_n = \langle v_n, x\rangle $$

Scegliamo un certo numero $M \in \mathbb N$. Consideriamo il vettore espresso come:

$$ x^{(M)} = \sum_{n=1}^M \xi_nv_n $$

Se ora calcoliamo la norma quadra: $$ || x - x^{(M)}||^2 = \left|\left| x-\sum_{n=1}^M \xi_nv_n\right|\right|^2 = \langle x-\sum_{n=1}^M \xi_nv_n, x-\sum_{n=1}^M \xi_nv_n\rangle = $$ $$ \small \langle x-\sum_{n=1}^M \xi_nv_n, x\rangle - \langle x-\sum_{n=1}^M \xi_nv_n, \sum_{n=1}^M \xi_nv_n\rangle =$$ $$ \small \langle x, x\rangle - \sum_{n=1}^M\xi_n^* \langle v_n, x\rangle - \sum_{n=1}^M\xi_n \langle x, v_n\rangle + \sum_{n=1}^M\sum_{n=1}^M\xi_n^*\xi_n \langle v_n, v_n\rangle = $$ $$ ||x||^2 - \sum_{n=1}^M|\xi_n|^2 \geq 0 $$

Questo vuol dire che "Indipendentemente da $M$" $$ \sum_{n=1}^M|\xi_n|^2 \leq||x||^2$$

Consideriamo ora questa successione di somme parziali: $$ \sigma_M = \sum_{n=1}^M|\xi_n|^2 $$

Si tratta di una serie a termini non negativi, infatti: $|\xi_n|^2 > 0 \forall n \in N $. Di conseuenza, se aggiungiamo un ulteriore termine alla successione il risultato non può che aumentare: $$ \sigma_{M+1} = \sigma_M + |\xi_{M+1}|^2 \geq \sigma_M $$

in sostanza questa successione è monotona crescente e limitata, quindi è convergente ed esisterà il limite (che coincide con la somma della serie) $$ \lim_{M \to \infty}\sigma_{M} = \sum_{n=1}^\infty|\xi_n|^2 $$

E per il secondo teorema del confronto: $$ \sum_{n=1}^\infty|\xi_n|^2 \leq ||x||^2 $$ In altre parole anche a dimensione infinita vale la disuguaglianza di Bessel

Identità di Parseval

Cosa significa se $ \forall x \in V $ la disugualianza di Bessel vale con l'uguale?

$$ \sum_{n=1}^\infty|\xi_n|^2 = ||x||^2 $$ significa dire che: $$ \lim_{M \to \infty}\left( ||x||^2 - \sum_{n=1}^\infty|\xi_n|^2\right) = \lim_{M \to \infty}\left( || x - x^{(M)}||^2\right) = \lim_{M \to \infty}\left( \left|\left| x-\sum_{n=1}^M \xi_nv_n\right|\right|^2\right) = 0 $$

Questo vuol dire che il limite della distanza tra $x$ e $\sum_{n=1}^M \xi_nv_n$ è $0$ e quindi $x$ è la somma della serie: $$ x = \sum_{n=1}^\infty \xi_nv_n $$

Spazio di Hilbert

Se abbiamo uno spazio di Hilbert $ H $ ed un sistema di vettori $ \Sigma= \{v_1, v_2, ... v_n, ...\} $. Allora (condizione necessaria e sufficiente affinchè $\Sigma$ sia una base; è che l'unico vettore $y \in H $ tale che: $ \langle v_n, y\rangle = 0, \forall v_n \in H $ è proprio il vettore nullo

DIM: $ \Rightarrow $
se $ \Sigma= \{v_1, v_2, ... v_n, ...\} $ è una base vale l'uguaglianza di Parseval $$ \sum_{n=1}^\infty|\xi_n|^2 = ||x||^2 $$ Supponiamo di essere in possesso di un certo $ y \in H $ tale che "lui" è ortogonale a tutti i vettori di $ \Sigma $. $$ \langle v_n, y \rangle = 0 \forall v_n \in \Sigma $$ Essendo $ y_n = \langle v_n, y \rangle $ l'ennesimo coefficiente di Fourier nel sistema $\Sigma$. Siccome $ \Sigma $ è una base, vale l'uguaglianza di Parseval. $$ \sum_{n=1}^\infty|y_n|^2 = ||y||^2 = 0 $$ quindi: $ y = 0$ $$ \square $$

DIM: $ \Leftarrow $
Se l'unico vettore di $H$ ortogonale a tutti i vettori di $\Sigma$ è il vettore nullo allora $\Sigma$ è una base:
Supponiamo per assurdo che $\Sigma$ non sa una base (pur essendo l'ipotesi vera):
Allora questo implica che esiste almeno un vettore $ z \in H$ per il quale vale la disuguaglianza di Bessel, ma non l'uguaglianza di Parseval. Ossia sapendo che $\xi_n = \langle v_n, z\rangle $: $$ \sum_{n=1}^\infty|\xi_n|^2 \lneq ||z||^2 $$ Consideriamo la seguente successione: $$ z_M = \sum_{n=1}^M \xi_n v_n $$ Questa successione è fondamentale (cioe:) $$ \forall \epsilon > 0, \exists, m_\epsilon \in \mathbb N tc: \forall M, M' \in \mathbb N $$ $$ || z_M - z_{M'}||^2 < \epsilon^2 $$ supponendo $ M'>M $ avremo che: $$ || z_M - z_{M'}||^2 = || \sum_{n=M+1}^{M'}\xi_n v_n ||^2 $$ Siccome i $ v_n $ sono ortonormali allora: $$ || \sum_{n=M+1}^{M'}\xi_n v_n ||^2 = \sum_{n=M+1}^{M'}|\xi_n|^2 $$ Se ora prendiamo la successione delle somme parziali: $$ \sigma_M = \sum_{n=1}^{M}|\xi_n|^2 $$ allora: $$ \sum_{n=M+1}^{M'}|\xi_n|^2 = \sigma_{M'}- \sigma_M $$ ma $ \sigma_M $ è sicuramente convergente perchè è una successione a termini non negativi, quindi la successione delle somme parziali è monotona crescente $ \sigma_{M+1} > \sigma_M $ ed è superiormente limitata (Bessel) è quindi converge. Quindi sarà fondamentale anche la successinoe $ x_n$. Siccome per ipotesi stiamo lavorando su uno spazio di Hilbert che è completo, allora esisterà il vettore: $$ w = \lim_{M\to\infty} z_n = \sum_{n = 1}^\infty \xi_n v_n $$ Se il nostro sistema $ \Sigma $ è una base ($w$ deve coincidere con $z$), noi però stiamo assumendo per assurdo che non lo sia e $z$ è il vettore per il quale vale la disuguaglianza di Bessel, ma non l'uguaglianza di Parseval. Quindi se prendiamo il vettore: $$ z-w = u $$ $u \neq 0 $ (altrimenti sarebbe valida l'uguaglianza di Parseval. Calcoliamo ora $ \langle v_n, u \rangle$: $$ \langle v_n, u \rangle = \langle v_n, z-\sum_{m = 1}^\infty \xi_m v_m \rangle = \langle v_n, z \rangle - \sum_{m = 1}^\infty \xi_m \langle v_n, v_m \rangle = \xi_m -\xi_m = 0$$ Da una parte $u \neq 0 $, ma dall'altra abbiamo mostrato che è ortogonale a tutti i vettori di $ \Sigma $ e per ipotesi implicherebbe che $ u = 0$! $$ \square $$