Lo schema di Eulero forward (in avanti), si ottiene implementando uno schema numerico a partire da una approssimazione della derivata con il metodo delle differenze finite effettuando un passo in avanti.

Supponiamo di essere in possesso di una equazione differenziale del primo ordine con una condizione iniziale (Problema di Cauchy) $$ \begin{cases} {dy \over dt} = F(y, t) \\ y(0) = y_0 \end{cases} $$

Dalla teoria dei metodi alle differenze finite (supponendo di aver discretizzato l'intervallo del problema di Cauchy in n sottointervalli equispaziati), sappiamo che lo schema ad un passo per la derivata prima è dato dalla seguente relazione: $$ {dy \over dt} = {y_{n+1} - y_n \over h} + \epsilon(h) $$

Sostituendo l'espressione approssimata della derivata nella nostra equazione differenziale, otteniamo lo schema di Eulero in avanti (forward). $$ $$ $$ {y_{n+1} - y_n \over h} + \epsilon(h) = F(y_n, t_n) $$ $$ $$ Che possiamo subito riscrivere in forma fondamentale, esplicitando la \( y_{n+1} \): $$ $$ $$ y_{n+1} = y_n + hF(y_n, t_n) - h\epsilon(h) $$ $$ $$ Confrontando l'espressione con lo schema generale \( {\small y_{n+1} = y_n + h\phi(y_n, t_n, y_{n+1}, t_{n+1}, F_n, F_{n+1}; h) + h\tau_{n+1}(h) } \), si evince subito che la \( \phi = F(y_n, t_n) \). Si tratta di uno schema esplicito ad un passo. Inoltre l'errore locale \(\tau = -\epsilon = {1 \over 2}y''_jh + O(h^2) \).