L’analisi armonica di Fourier è una trattazione prettamente matematica, dunque è applicabile a innumerevoli contesti fisici, anche se noi per fissare le idee ci metteremo nel contesto sonoro. Abbiamo esperienza pratica del fatto che più suoni possono essere sovrapposti, a creare un suono composito, all’interno del quale ogni singolo suono può essere individuato distintamente. Questo fenomeno viene identificato come principio di sovrapposizione e risulta valido per i sistemi oscillatori, purché le ampiezze delle singole perturbazioni non oltrepassino una determinata soglia. A questo punto è lecito pensare che qualsiasi forma d’onda possa essere decomposta ed espressa come somma di forme d’onda più semplici. La forma d’onda più semplice esistente è la sinusoide e dunque diremo che qualsiasi forma d’onda può essere espressa, anzi in realtà è composta, da una serie di singole sinusoidi aventi ognuna una determinata ampiezza, frequenza e fase. È opportuno precisare che la trattazione può diventare piuttosto complessa e deve rispettare precise condizioni matematiche (in particolare, la periodicità dell’onda). Vediamo un esempio pratico di decomposizione di un segnale nelle sue componenti armoniche secondo il teorema di Fourier, che recita testualmente:

Data una funzione \( x(t) \) periodica di periodo \(T\) e frequenza \(f={1\over T}\), la \(x(t)\) può essere sempre espressa mediante una somma di infiniti termini (serie di Fourier) armonici di frequenze multiple della frequenza della funzione data e con ampiezza determinata.
$$ \large x(t) = {a_0 \over 2} \sum_{k=1}^\infty a_k cos(k\omega t) + b_k sen(k\omega t) $$ Per funzione periodica si intende una funzione che abbia un andamento nel tempo che si ripete ciclicamente dopo un intervallo di tempo fissato, che viene appunto definito periodo. Naturalmente, nel nostro caso la funzione periodica è rappresentativa di un’onda acustica. In formule: $$ x(t) = {a_0\over 2} + a_1 cos(\omega t) + b_1 sen(\omega t) + a_2 cos(2\omega t) + b_2 sen(2\omega t) + \ldots + $$ $$ + \ldots + a_k cos(k\omega t) + b_k sen(k\omega t) $$

Un esempio pratico e visuale ci permetterà di chiarire ulteriormente la questione. Consideriamo un’onda quadra che ha nel tempo l’andamento seguente:

Vediamo nella figura seguente come sia possibile esprimere un’onda quadra come somma di semplici componenti sinusoidali: Una considerazione preliminare riguarda il termine costante \(a_0\) che, come detto tiene conto del valor medio. Se l’onda quadra fosse stata spostata più in alto sull’asse delle ordinate, avremmo ottenuto un valore \(a_0>0\). Riguardo poi alla somma delle componenti sinusoidali, si vede come tenda alla forma di un’onda quadra. La figura di sinistra mostra le prime tre componenti armoniche che stiamo considerando per ricostruire l’onda quadra (sono i primi tre termini dell’equazione precedente). La seconda figura mostra la somma dei primi due termini della serie (sinusoidi). Già con la somma di due termini si ha un andamento che comincia ad assomigliare a quello dell’onda quadra. Nella figura di destra si vede il risultato della somma dei primi tre termini della serie. L’approssimazione si raffina sempre di più, man mano che nella serie vengono aggiunti termini. Nel caso dell’onda quadra ideale, servirebbero infiniti termini per riprodurla perfettamente. Al contempo, un’onda quadra perfetta non esiste nel mondo reale poiché non è possibile generare transazioni da uno stato all’altro in un tempo nullo. Un’onda periodica che non presentasse transazioni istantanee (con pendenza infinita), sarebbe riprodotta esattamente dalla somma di un numero finito di termini della serie di Fourier. Concludendo: una qualsiasi perturbazione periodica può considerarsi somma di perturbazioni sinusoidali (e questo, sotto determinate condizioni, si estende anche al caso di perturbazioni non periodiche). Il principio di sovrapposizione inoltre assicura che, finché le perturbazioni sono piccole, l’effetto complessivo dovuto all’azione contemporanea di più perturbazioni in un mezzo è pari alla somma degli effetti dovuti a ciascuna perturbazione. Ne consegue che per lo studio dei fenomeni sonori ci si può ricondurre al caso sinusoidale, semplificando notevolmente le trattazioni.

Nel caso di segnali non periodici, come i segnali sonori che troviamo in natura (un esempio per tutti: la voce umana), non è possibile esprimere il segnale complessivo come semplice somma di armoniche multiple della frequenza fondamentale. In altre parole, la serie di Fourier non è sufficiente in quanto i rapporti tra le frequenze componenti non sono descrivibili da multipli interi. In questo caso è necessario uno strumento matematico che tenga conto di tutte le frequenze coinvolte nel fenomeno acustico: la trasformata di Fourier. Nel caso in cui la funzione è non-periodica lo spettro di frequenza è continuo e non discreto (ossia non è composto da frequenze separate, ma da frequenze contigue) e la teoria della trasformata di Fourier generalizza la teoria della Serie di Fourier al caso di segnali non periodici. Al fine di non appesantire la trattazione, si immagini la trasformata di Fourier come uno strumento per calcolare tutte le frequenze componenti un segnale audio non periodico. Una volta calcolate tutte le componenti e visualizzate su un grafico ampiezza/frequenza, che prende il nome di analizzatore di spettro, avremo davanti lo spettro di frequenza (definito anche come spettro armonico del nostro segnale. Naturalmente lo spettro di frequenza varia continuamente nel tempo seguendo l’evoluzione del segnale audio e mostrando ad ogni istante le ampiezze delle singole frequenze che lo compongono