Supponiamo di prendere come spazio \(V\), uno spazio di Hilbert \(V=H\), mentre \(V' = \mathbb K\) (un campo), ossia consideriamo l'insieme: \( \mathcal L(H, \mathbb K)\). Sappiamo che questo è uno spazio di Banach. Tuttavia gli elementi di questo spazio associano ad ogni vettore di \(H\) un numero del campo \(\mathbb K\): $$ F: x \in H \rightarrow Fx \in \mathbb K $$
Chiaramente per questo operatore \(F\), valgono tutte le proprietà degli operatori in \(\mathcal L()\) ossia:- \(F\) è lineare:
\(F(\alpha x + \beta y) = \alpha Fx + \beta Fy \) - \(F\) è limitato:
\( |Fx| \leq ||F||_{\mathcal L} ||x|| \), che scriveremo (chamando \(||\cdot||_{\mathcal L} \iff ||\cdot||_{*}\): norma duale) $$ |Fx| \leq ||F||_{*} ||x|| $$
Funzionali
Questi oggetti vengono chiamati: vettori duali, funzionali o covettori.
Lo spazio dei funzionali limitati su \(H\) si chiama spazio duale dello spazio di Hilbert e si indica con \(H^*\).
Ogni funzionale su \(H\), corrisponde ad un vettore di \(H\) e viceversa:
Se prendiamo un certo \(z \in H\) e definiamo come \(Fx = \langle z, x\rangle \) per ogni \(x \in H\), questo è un funzionale:
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linearità
\(F(\alpha x + \beta y) = \langle z, \alpha x + \beta y\rangle = \alpha\langle z, x\rangle + \beta\langle z, y\rangle = \alpha Fx + \beta Fy \)
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limitatezza
la limitatezza deriva direttamente dalla disuguaglianza di Schwarz, infatti:
$$|Fx| = |\langle z, \alpha x\rangle | \leq ||z|| ||x|| \rightarrow |\langle z, \alpha x\rangle | \leq R ||x||$$ $$ {|Fx| \over ||x||} \leq ||z||, \hspace{1cm} \forall x \neq 0 $$ $$ sup_{x\neq 0}{|Fx| \over ||x||} = ||F||_* \leq ||z|| $$ Se troviamo un vettore che rende la disuguaglianza: \(||F||_* \leq ||z||\) una uguaglianza, allora la norma del funzionale coincide con la norma di \(z\). Se prendo \(x = z\) allora: $$ |Fz| = |\langle z, \alpha z\rangle | = ||z||||z|| $$ Quindi $$ ||F||_* = ||z||$$
Ogni funzionale limitato si puo rappresentare come prodotto scalare per un opportuno vettore:
(\( \forall F \in H_*\) esiste \(z \in H \), tale che \(Fx = \langle z, x \rangle\), per ogni \(x \in H\).)
consideriamo una base in \(H\) ortonormale: (\(v_1, v_2, ... v_n\)):
per ogni \(x \in H\) si ha che: $$x = \sum_{i=1}^\infty\xi_iv_i = \sum_{i=1}^\infty\langle v_i, x\rangle v_i$$ Se facciamo agire il funzionale su questo vettore avremo: $$ Fx = F\left(\sum_{i=1}^\infty\langle v_i, x\rangle v_i\right) = F\left( \lim_{M\to\infty} \sum_{i=1}^M \langle v_i, x\rangle v_i \right) $$ Essendo F (limitato), esso è anche (continuo), quindi possiamo "scambiarlo con il limite" e scrivere: $$ Fx = \lim_{M\to\infty} \sum_{i=1}^M \langle v_i, x\rangle Fv_i $$ Definiamo la seguente successione di complessi: $$ \{ f_n \}_{n\in\mathbb N}, \hspace{1cm} f_n = (Fv_n)^* $$ Se ora riusciamo a dimostrare che la successione: \( \overline{z} = \sum_{n=1}^\infty f_nv_n \in H \), allora possiamo scrivere che \( Fx = \sum_{n=1}^\infty f_n^* \xi_n = \langle \overline{z},x\rangle \). Per dimostrare la convergenza della serie, ossia che \( \overline{z}\in H\), dobbiamo mostrare che la successione \( \sum_{n=1}^\infty f_nv_n \in l_2 \) ossia che: \( \sum_{n=1}^\infty |f_n|^2 < \infty \). Per \(M \in \mathbb N\) definiamo: $$ f^M = \sum_{n=1}^M f_nv_n $$ facciamo agire il funzionale \( F \): $$ Ff^M = F\left( \sum_{n=1}^M f_nv_n \right) = \sum_{n=1}^M f_n Fv_n = \sum_{n=1}^M f_n f^*_n = \sum_{n=1}^M |f_n|^2 $$ essendo per ipotesi il funzionale limitato avremo che: $$ \sum_{n=1}^M |f_n|^2 \leq ||F||_*|f_n| = ||F||_*\sqrt{\sum_{n=1}^M |f_n|^2} $$ $$ { \sum_{n=1}^M |f_n|^2 \over \sqrt{\sum_{n=1}^M |f_n|^2}} \leq { ||F||_*\sqrt{\sum_{n=1}^M |f_n|^2} \over \sqrt{\sum_{n=1}^M |f_n|^2}} $$ $$ \sqrt{\sum_{n=1}^M |f_n|^2} \leq ||F||_* $$ Elevando al quadrato: $$ \sum_{n=1}^M |f_n|^2 \leq ||F||_*^2 \hspace{1cm} \forall M $$ Mandando \( M \to \infty \) ed osservando che il maggiorante: \( ||F||_*^2 \) non dipende da \(M\): $$ 0 \leq \sum_{n=1}^\infty |f_n|^2 \leq ||F||_*^2 < \infty $$ Abbiamo quindi dimostrato che: \( \sum_{n=1}^\infty f_nv_n \in l_2 \) e che \( \overline{z}\in H\). Quello che succede è che se \( \overline{z}\) è tale che \( Fx = \langle \overline{z}, x \rangle \). Allora \(||F||_* = ||\overline{z}|| = \sqrt{\sum_{n=1}^\infty |f_n|^2} \), e quindi: \( 0 \leq \sum_{n=1}^\infty |f_n|^2 = ||F||_*^2 < \infty \). \( \square \) $$ \diamond\diamond $$ Corrispondenze tra \(H\) ed \(H_*\)
La relazione tra \(H\) ed \(H^*\) è di isomorfismo (corrispondenza biunivoca), che conserva la metrica tra gli spazi (il prodotto scalare), questo significa che \(H^*\) è a sua volta uno spazio duale di Hilbert. Inoltre osserviamo che: (introduciamo il simbolo di corrispondenza: \( \small H \underleftrightarrow \sim H^* \)) che significa che all'oggetto a sinistra corrisponde l'oggetto a destra. Prendiamo i due funzionali \(F\) e \(G\) ed i vettori duali \(z_F\) e \(z_G\):
$$ \begin{cases} F \underleftrightarrow \sim z_F \\ G \underleftrightarrow \sim z_G \end{cases} \Rightarrow \hspace{1cm} \alpha^*F + \beta^*G \underleftrightarrow \sim \alpha z_F + \beta z_G $$ Infatti: \( \langle \alpha z_F + \beta z_G, x\rangle = \alpha^* \langle z_F, x\rangle + \beta^* \langle z_G, x\rangle \). (L'isomorfismo è antilineare).