Il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, ci consente, data una base in generale qualunque (non ortogonale), di costruirne una ortonormale. Partiamo dalla base generica \( \{e_1, e_2, \ldots, e_n\} \). Vogliamo costruire la nuova base ortonormalizzata che indicheremo ad esempio: \( \{ \hat{v_1}, \hat{v_2}, \ldots, \hat{v_n} \} \)

• Il primo vettore \( \hat{v_1} \) si ottiene prendendo il primo vettore \(e_1\) e normalizzandolo. $$ \hat{v_1} = {e_1 \over || e_1||} $$
  
• Il secondo vettore deve essere ortogonale ad esempio al primo "\( \hat{v_1}\)". Sicuramente esso sarà un vettore appartenente al piano generato da \( \hat{v_1} \) ed \( e_2\). Quindi: $$ v_2 = e_2 + \lambda_{21}\hat{v_1} $$ Cerchiamo il coefficiente \(\lambda_{21} \) in modo da avere \(\langle \hat{v_1}, v_2 \rangle = 0\) $$ \langle \hat{v_1}, v_2 \rangle = \langle \hat{v_1}, e_2 + \lambda_{21}\hat{v_1} \rangle = \langle \hat{v_1}, e_2\rangle + \lambda_{21}\langle\hat{v_1}, \hat{v_1} \rangle $$ $$ \lambda_{21} = - \langle \hat{v_1}, e_2\rangle $$ E quindi $$ v_2 = e_2 - \langle \hat{v_1}, e_2\rangle\hat{v_1} $$ In sostanza abbiamo sottratto dal vettore \( e_2 \) la sua componente lungo \(\hat{v_1} \) in questo modo rimane la componente ortogonale, che va comunque normalizzata: $$ \hat{v_2} = {v_2 \over || v_2 ||} = {e_2 - \langle \hat{v_1}, e_2\rangle\hat{v_1} \over || e_2 - \langle \hat{v_1}, e_2\rangle\hat{v_1} ||} $$


• Il terzo vettore dovra essere ortogonale ai primi due. Esso sarà quindi un vettore che apparterrà allo spazio e sarà estratto dalla seguente combinazione lineare di \(v_3 = e_3 +\lambda_{31}\hat{v_1} + \lambda_{32}\hat{v_2} \). Quindi cerchiamo i coefficienti \(\lambda_{32}\) e \(\lambda_{31}\) di modo che sia abbia che questo vettore sia ortogonale al piano generato da \(\hat{v_1}\) e \( \hat{v_2}\): $$ \begin{cases} \langle v_1, e_3 +\lambda_{31}\hat{v_1} + \lambda_{32}\hat{v_2} \rangle = 0 \\ \langle v_2, e_3 +\lambda_{31}\hat{v_1} + \lambda_{32}\hat{v_2} \rangle = 0 \\ \end{cases} $$ Le due relazioni ci portano a: $$ \small \begin{cases} \langle \hat{v_1}, e_3 \rangle +\lambda_{31}\langle\hat{v_1}, \hat{v_1}\rangle + \lambda_{32}\langle\hat{v_1}, \hat{v_2} \rangle = 0 \\ \langle \hat{v_2}, e_3 \rangle +\lambda_{31}\langle\hat{v_2}, \hat{v_1}\rangle + \lambda_{32}\langle\hat{v_2}, \hat{v_2} \rangle = 0 \\ \end{cases} = $$ $$ \small \begin{cases} \langle \hat{v_1}, e_3 \rangle +\lambda_{31} = 0 \\ \langle \hat{v_2}, e_3 \rangle + \lambda_{32} = 0 \\ \end{cases} = \begin{cases} \lambda_{31} = - \langle\hat{v_1}, e_3 \rangle \\ \lambda_{32} = - \langle \hat{v_2}, e_3 \rangle\\ \end{cases} $$ E quindi: $$ v_3 = e_3 -\langle\hat{v_1}, e_3 \rangle\hat{v_1} - \langle \hat{v_2}, e_3 \rangle\hat{v_2} $$ In sostanza abbiamo sottratto dal vettore \(e_3\) la sua proiezione sul piano generato da \(\hat{v_1}\) e \( \hat{v_2}\). Il vettore normalizzato sarà: $$ \hat{v_3} = {v_3 \over ||v_3||} = {e_3 -\langle\hat{v_1}, e_3 \rangle\hat{v_1} - \langle \hat{v_2}, e_3 \rangle\hat{v_2} \over || e_3 -\langle\hat{v_1}, e_3 \rangle\hat{v_1} - \langle \hat{v_2}, e_3 \rangle\hat{v_2} ||} $$


E così via... per induzione si ottengono tutti gli altri vettori. $$ \diamond\diamond$$

Esempio sui polinomi

Consideriamo l'insieme dei polinomi in \([-1,1]\). Scegliamo una base di monomi (\( 1=e_0, x, x^2, ... x^n=e_n \))

• Il primo elemento della nuova base normalizzatà sarà: $$ \hat{v_0} = {e_0 \over ||e_0||} = {e_0 \over \sqrt{\int_{-1}^{1} e_0^2(x)dx} } = {1 \over \sqrt 2} $$
• Il secondo elemento sarà (sapendo che \( \small \int_{-1}^{1}{1 \over \sqrt 2}x dx = 0\) ): $$ \hat{v_1} = {e_1 \over ||e_1||} = {e_1 -\langle \hat{v_0}, e_1 \rangle \hat{v_1} \over ||e_1 -\langle \hat{v_0}, e_1 \rangle \hat{v_1}||} = {x-\langle {1 \over \sqrt 2}, x \rangle \hat{v_1} \over ||x-\langle {1 \over \sqrt 2}, x \rangle \hat{v_1}||} = {x-{1 \over \sqrt 2}\int_{-1}^{1}{1 \over \sqrt 2}x dx \over ||x-{1 \over \sqrt 2}\int_{-1}^{1}{1 \over \sqrt 2}x dx||} = {x \over ||x||} = $$ $$ {x \over \sqrt{\int_{-1}^{1}x^2 dx}} = {x \over \sqrt{2\over 3}} $$
• Il terzo elemento sarà: $$ \hat{v_2} = {e_2 \over ||e_2||} = {e_2 -\langle \hat{v_0}, e_2 \rangle\hat{v_0} -\langle \hat{v_1}, e_2 \rangle\hat{v_1} \over ||e_2 -\langle \hat{v_0}, e_2 \rangle\hat{v_0} -\langle \hat{v_1}, e_2 \rangle\hat{v_1}|| } = {x^2 -\langle {1\over \sqrt 2}, e_2 \rangle{1\over \sqrt 2} -\langle {x \over \sqrt{2\over 3}}, e_2 \rangle{x \over \sqrt{2\over 3}} \over ||e_2 -\langle {1\over \sqrt 2}, e_2 \rangle{1\over \sqrt 2} -\langle {x \over \sqrt{2\over 3}}, e_2 \rangle{x \over \sqrt{2\over 3}}|| } = $$ $$ \require{cancel} $$ $$ {x^2 -{1\over 2}\int_{-1}^{1}x^2 dx - {3\over 2}x \int_{-1}^{1}x^3 dx \over \left|\left| x^2 -{1\over 2}\int_{-1}^{1}x^2 dx - {3\over 2}x \int_{-1}^{1}x^3 dx \right|\right|} = $$ $$ {x^2 -{1\over 3} \over \left|\left| x^2 -{1\over 3} \right|\right|} = {x^2 -{1\over 3} \over \sqrt{\langle x^2 -{1\over 3}, x^2 -{1\over 3} \rangle}} = {x^2 -{1\over 3} \over \sqrt{\int_{-1}^1 (x^2-{1\over 3})^2dx}} = $$ $$ = {x^2 -{1\over 3} \over \sqrt{\int_{-1}^1 x^4-{2\over 3}x^2 + {1\over 9}dx}} = {x^2 -{1\over 3} \over \sqrt{[{x^5\over 5}]_{-1}^1-{2\over 3}[{x^3\over 3}]_{-1}^1 + {1\over 9}[x]_{-1}^1}} = $$ $$ = {x^2 -{1\over 3} \over \sqrt{{2\over 5}-{4\over 9} + {2\over 9}}} = {x^2 -{1\over 3} \over \sqrt{{2\over 5}-{4\over 9}}} = {x^2 -{1\over 3} \over \sqrt{{8\over 45}}} $$

La nostra base di polinomi ortogonali ed ortonormali sarà quindi: $$ \left\{ {1 \over \sqrt 2}, {x \over \sqrt{2\over 3}}, {x^2 -{1\over 3} \over \sqrt{{8\over 45}}} \right\} $$