Analisi delle forze
Consideriamo una palla che viene lanciata su una pista da bowling con una certa velocità iniziale \(v_0\). Sulla palla agiscono sostanzialmente tre forze:Leggi fisiche che intervengono
La palla da bowling è a tutti gli effetti un corpo rigido, dunque è necessario applicare le due equazioni cardinali della dinamica. La prima equazione cardinale ci fornisce una analisi dettagliata della traslazione effettuata dalla palla. In particolare ci dice che la somma di tutte le forze esterne ,che agiscono sulla palla, accelerano il suo centro di massa. In formule $$ F^{tot}_{est}=Ma_{cm} $$ Bisogna scomporre lungo gli assi questa equazione. Lungo l'asse y non vi è moto, dunque l'accelerazione è nulla $$ Lungo \hspace{3mm}y:\hspace{5mm} R_n-P=0 $$ Da qui ricaviamo una relazione già citata in precedenza, cioè $$ R_n=P=Mg $$ Lungo l'asse x invece abbiamo l'accelerazione responsabile della traslazione $$ Lungo \hspace{3mm}x:\hspace{5mm} -A_d=Ma_{cm} $$ Da qui ricaviamo che $$ \frac{-A_d}{M}=a_{cm} $$ Sappiamo che l'attrito dinamico è dato dalla seguente espressione $$ A_d=\mu_dMg $$ L'accelerazione del centro di massa della palla da bowling è in definitiva $$ a_{cm}=-\frac{-\mu_dMg}{M}=-\mu_dg $$ Ma come varia la velocità della palla nel tempo? Questa dipende dalla velocità iniziale di lancio e dalla sua accelerazione, in quanto stiamo parlando di moto rettilineo uniformemente accelerato. $$ v_{traslazione}=v_0-\mu_dgt $$ La seconda equazione cardinale invece si occupa della rotazione della palla da bowling. In particolare ci dice che la somma di tutti i momenti delle forze esterne provoca una accelerazione angolare della palla stessa. In formule $$ M^{tot}_{est}=I_{cm}\alpha $$ Dove \(I_{cm}\) è il momento di inerzia della palla rispetto al centro di massa.Soluzione del problema
Adesso abbiamo tutti gli ingredienti per formulare la soluzione del problema. L'attrito dinamico in questo caso ha un ruolo fondamentale. Cerca di evitare il più possibile strisciamenti della palla da bowling... Ma come ci riesce? Nel tempo la sua funzione è quella di aumentare la velocità di rotazione e diminuire quella di traslazione, finchè in un certo istante di tempo, queste due velocità coincidono, innescando finalmente la condizione di rotolamento della palla da bowling. Quanto tempo impiega l'attrito ad innescare il rotolamento della palla? Come detto poco fa, il rotolamento si innesca quando nel punto di contatto tra palla e pista, le due velocità sono uguali, dunque $$ v_{rotazione}=v_{traslazione} $$ $$ \frac{mr^2}{I_{cm}}\cdot \mu_d gt=v_0-\mu_dgt $$ Da qui ricaviamo il tempo necessario per fare tale operazione $$ t_{rotolamento}=\frac{v_0}{\mu_dg}\cdot\left(\frac{I_{cm}}{I_{cm}+mr^2}\right) $$ $$ t_{rotolamento}=\frac{v_0}{\mu_dg}\cdot\left(\frac{I_{cm}}{I_{cm}+mr^2}\right) $$ $$ t_{rot}=\frac{v_0}{\mu_dg}\cdot\left(\frac{I_{cm}}{I_{cm}+mr^2}\right) $$Considerazioni finali
Dalla formula capiamo tante cose, infatti, come ci suggerisce l'intuito, lo strisciamento dura di più se la velocità iniziale è alta. Inoltre maggiore è l'attrito e meno tempo impiega ad instaurare il rotolamento. Nella parentesi tonda vi è un termine che dipende dal momento di inerzia della palla, una sorta di inerzia alla rotazione. Il problema della formula sta proprio nel momento di inerzia, infatti non è noto il suo valore per una palla da bowling. Se si approssima ad una sfera piena potete procedere con il calcolo vero e proprio. Questo articolo, almeno spero, mette in luce una cosa importante. Spesso l'intuito viene confermato dalle leggi della fisica che sono molto più dettagliate e precise. L'esperienza comune ci dice proprio che quando lanciamo una palla da bowling si ha inizialmente una fase di strisciamento, accompagnata da una fase di rotolamento.