Definiamo lo spazio \( l_2\) di tutte le successioni convergenti. Ogni vettore \( z = \{z_n\}_{n\in \mathbb N} \in l_2 \) è sostanzialmente una successione di numeri complessi convergente, ossia tale che la serie: $$ \sum_{n=1}^\infty |z_n|^2 < \infty $$

E' convergente. Ad esempio i coefficienti di Fourier di un generico vettore di uno spazio vettoriale a dimensione infinita su una base ortonormale sono elementi di uno spazio \( l_2 \).

$$ \diamond \diamond $$ \(l_2\) è uno spazio vettoriale

Verifichiamo che \( l_2 \) è uno spazio vettoriale:

Supponiamo di prendere due successioni \( z = \{z_n\}_{n\in \mathbb N} \in l_2 \) e \( w = \{w_n\}_{n\in \mathbb N} \in l_2 \) tali che: le relative serie: $$ \sum_{n=1}^\infty |z_n|^2 < \infty \hspace{2cm} \sum_{n=1}^\infty |w_n|^2 < \infty $$ Vogliamo dimostrare che il vettore combinazione \( \alpha z + \beta w \in l_2 \). In sostanza vogliamo dimostrare che la successione \( \{\alpha z_n + \beta w_n\}_{n\in \mathbb N} \in l_2 \)

Calcoliamo: \( |\alpha z_n + \beta w_n|^2\) : $$0 \leq |\alpha z_n + \beta w_n|^2 = |\alpha|^2 |z_n|^2 + |\beta|^2|w_n|^2 + (\alpha z_n)^* \beta w_n + \alpha z_n (\beta w_n)^* \leq $$ $$ \leq |\alpha|^2 |z_n|^2 + |\beta|^2|w_n|^2 + \color{#0000aa}{2|\alpha||z_n||\beta||w_n|} $$ Siccome: $$ \biggl( |\alpha||z_n| - |\beta||w_n| \biggr)^2 = |\alpha|^2|z_n|^2 - 2|\alpha||z_n||\beta||w_n| + |\beta|^2|w_n|^2 \geq 0 $$ portando il doppio prodotto a destra avremo che: $$ \color{#0000aa}{2|\alpha||z_n||\beta||w_n|} \leq |\alpha|^2|z_n|^2 + |\beta|^2|w_n|^2 $$ Di conseguenza se mettiamo al posto di \( \small \color{#0000aa}{2|\alpha||z_n||\beta||w_n|} \) la quantità maggiorante nell'espressione di sopra, avremo: $$ |\alpha z_n + \beta w_n|^2 \leq 2(|\alpha|^2|z_n|^2 + |\beta|^2|w_n|^2) $$ Di conseguenza (passando alle serie): $$ \sum_{n=1}^\infty |\alpha z_n + \beta w_n|^2 \leq 2|\alpha|^2\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2 + 2|\beta|^2\sum_{n=1}^\infty |w_n|^2 \leq \infty $$ $$ \square $$

\(l_2\) ha dimensione infinita: \(dim(l_2) = \infty\)

Per ogni \( M\in \mathbb N \) esistono sempre \(M+1\) vettori linearmente indipendenti: Questi vettori sono ad esempio: $$ \begin{align} \{1, 0, 0\ldots, 0, ... \} \\ \{0, 1, 0\ldots, 0, ... \} \\ \{0, 0, 1\ldots, 0, ... \} \\ \{ \overset{M}{\overbrace{0, 0, 0}}, 1\ldots 0, ... \} \\ \end{align} $$

\(l_2\) è euclideo

Per mostrare che \(l_2 \) è euclideo, dobbiamo definire in esso un prodotto scalare. E' facile vericficare che presi due vettori (due successioni \(z\) e \(w\) in \(l_2\)) il seguente è un prodotto scalare: $$ \langle z, w\rangle = \sum_{n=1}^\infty z_n^*w_n $$ Bisogna verificare che per ogni coppia di vettori di \(l_2\) questa serie converge. (Siccome è una serie di numeri complessi, basta dimostrare che è fondamentale), ossia: $$ \small \sum_{n=1}^\infty z_n^*w_n (convergente) \iff \sum_{n=M}^\infty = \sigma_M (fondamentale) $$

Condizione sufficiente (\( \Leftarrow \)) affinchè valga questa relazione è che sia fondamentale questa serie: $$ \sum_{n=1}^M |z_n^* w_n|$$ ossia che \( \sum_{n=1}^M |z_n|| w_n| \) è fondamentale. Essendo una successione di numeri reali, questa è fondamentale \( \iff \) la serie \( \sum_{n=1}^\infty |z_n|| w_n| < \infty \) (è convergente).

$$ 0 \leq \biggl[ |z_n|-| w_n| \biggr]^2 = |z_n|^2 -2|z_n||w_n| + |w_n|^2 $$ $$ |z_n||w_n| \leq {1 \over 2}\bigl[ |z_n|+| w_n| \bigr]^2 $$ $$ \sum_{n=1}^M|z_n||w_n| \leq {1 \over 2}\sum_{n=1}^M\bigl[ |z_n|+| w_n| \bigr]^2 $$ per \( M \to \infty \): $$\sum_{n=1}^\infty|z_n||w_n| \leq {1 \over 2}\sum_{n=1}^\infty\bigl[ |z_n|\bigr]^2 + {1 \over 2}\sum_{n=1}^\infty\bigl[ |w_n|\bigr]^2 < \infty $$ $$ \square $$