Tensore Metrico

Si dimostra banalmente che, dato un generico prodotto scalare rappresentato da una matrice quadrata che indicheremo \(g= \begin{bmatrix}g_{ij} \end{bmatrix}\) oppure \(g_{ij}\), il prodotto scalare tra due vettori generici ad \(n\) dimensioni \(x_i\) ed \(y_i\), si esprime attraverso la seguente formula (la matrice \(g\) prende il nome di tensore metrico): $$ \langle x, y\rangle = x^Tgy = x_ig_{ij}y_j$$ Basta infatti osservare che: $$ \small \langle\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}\rangle = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \ldots & x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g{11} & g{12} & \vdots & g{1n} \\ g{21} & g{22} & \vdots & g{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ g{n1} & g{n2} & \vdots & g{nn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} = $$ $$ \small= \bigl( x_ig_{i1}, x_ig_{i2}, \ldots x_ig_{in}\bigr)\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = $$ $$ \small = x_ig_{i1}y_1 + \ldots + x_ig_{in}y_n = $$ $$ g_{ij}x_iy_j $$ Nel caso in cui la base fosse ortonormale la scrittura sarebbe: $$ \delta_{ij}x_iy_j $$

$$ \diamond $$ Esempio in \( \mathbb R^2 \)

Consideriamo una scelta di \(g = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)

Con questa scelta, il prodotto scalare dello spazio a due dimensioni, sarà il seguente: $$ \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\rangle = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = $$ $$ (2x_1+x_2, x_1+2x_2)\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = (2x_1+x_2)y_1 + (x_1+2x_2)y_2 = $$ $$ = 2x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2 $$

Si osserva come esso sia una forma quadratica i cui coefficienti corrispondono proprio a quelli del tensore metrico. Inoltre se proviamo a calcolare il prodotto scalare di un generico \(x\) con se stesso, otteniamo (rifacendo gli stessi conti, oppure piu' velocemente sostituendo nella formula di sopra al posto di \(y_i \rightarrow x_i\) ): $$ \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\rangle = 2x_1^2 + 2x_2x_1 + 2x_2^2 $$

Una quantità sempre positiva, infatti (se \(x \neq 0 \)) essendo una somma di tre quadrati è sempre positiva: $$ 2x_1^2 + 2x_2x_1 + 2x_2^2 = \overset{>0}{\overbrace{(x_1^2)}} + \overset{>0}{\overbrace{(x_2^2)}} + \overset{(x_1 + x_2)^2 > 0}{\overbrace{(x_1^2 + 2x_2x_1 + x_2^2)}} > 0 $$