Funzioni olomorfe

Iniziamo questa sezione con l'oggetto del discorso: "la funzione olomorfa". Una funzione di questo tipo gode della semplice proprietà di essere derivabile in un insieme di punti del piano complesso. Se vi può sembrare banale, in campo complesso non è detto che una funzione sia derivabile come accade in ambito reale. Può accadere che una funzione complessa ammetta derivate diverse a seconda di come ci muoviamo "direzionalmente" nel dominio (ricordatevi che una funzione complessa è simile ad una funzione di 2 variabili e quindi ha senso spostarsi lungo direzioni a piacere nel piano). Sostanzialmente in campo complesso, quando una funzione è derivabile si dice che è olomorfa . La cosa interessante di queste funzioni è che una volta che esiste la derivata prima, automaticamente esistono tutte le infinite derivate di ordine superiore. Più in dettaglio una funzione complessa è derivabile in un punto \( z_0 \) se esiste il limite finito:

$$ \lim_{z\to z_0} {f(z)-f(z_0) \over z-z_0} $$ E si indica con una delle seguenti notazioni: $$ f'(z_0) \hspace{1cm} {df \over dz} \hspace{1cm} \left( {df \over dz} \right)|_{z=z_0} $$ Uno dei risultati fondamentali della teoria delle funzioni olomorfe, sono le Condizioni di Cauchy-Riemann, che stabiliscono come devono comportarsi le derivate parziali delle funzioni \( u\) e \( v\), affinché \( f\) sia derivabile: ve le presento: $$ \Large \begin{cases} {\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} \\ {\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x} \end{cases} $$

Per una funzione olomorfa valgono tutte una serie di proprietà molto belle, che spostano l'attenzione dei matematici su di esse, come ad esempio il fatto che una funzione olomorfa è continua ed il fatto (come già detto) che è infinitamente derivabile. Inoltre come vedremo più avanti una funzione olomorfa è sviluppabile in Serie di Taylor è più in generale in Serie di Laurent convergente in una corona circolare, a tal proposito è tipico chiamare queste funzioni con il nome "Funzioni Analitiche".

Proprietà delle funzioni olomorfe

Per le funzioni olomorfe, valgono le classiche proprietà di linearità, omogeneità, composizione ecc. Se \( f\) e \( g\) sono due funzioni olomorfe e \( \lambda \in \mathbb C \), allora valgono:

Osservate che si tratta delle stesse proprietà delle funzioni reali. In un certo senso, possiamo dimenticarci di essere in campo complesso ed operare come se stessimo usando funzioni reali, questa è una delle peculiarità delle funzioni olomorfe ed è uno dei motivi del perchè ci interessano e si studiano in analisi complessa.

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Funzioni armoniche

Un'altra "impronta caratteristica" di una funzione olomorfa è il fatto che questa, o meglio, le sue parti: reale \( u\) ed immaginaria: \( v\) sono automaticamente armoniche. Una funzione è armonica quando è differenziabile sino al secondo ordine e soddisfa all'equazione di Laplace, ossia: $$ \Delta \Phi = 0 \hspace{1cm} \left({\partial \Phi\over \partial x}\right)^2 + \left({\partial \Phi\over \partial y}\right)^2 = 0$$ Dove con il simbolo \( \delta \equiv \nabla^2\) ci si riferisce al Laplaciano (oppure operatore di laplace), che in \( \mathbb R^2\) ad esempio vale: \( \left({\partial \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial \over \partial y}\right)^2 \). Come esercizio di riscaldamento provate a dimostrare da voi la validità di questa affermazione, basta applicare le condizioni di Cauchy-Riemann (che ricordo, sono la carta d'identità delle funzioni olomorfe).

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Applicazioni Conformi

Le funzioni olomorfe sono Applicazioni Conformi, detto in parole semplici "conservano gli angoli" a seguito di trasformazioni nel piano complesso. Queste trasformazioni, di solito sono omotetie, rotoomotetie... (quindi rotazioni e dilatazioni) o più in generale similitudini che si riassumono con la seguente equazione sui prodotti scalari. $$ {\langle u, v \rangle \over ||u|| ||v|| } = {\langle T(u), T(v)\rangle \over ||T(u)|| ||T(v)||} $$ Vi ricordo che in uno spazio vettoriale la formula per l'angolo tra due vettori è espressa dal rapporto tra il prodotto scalare dei due vettori fratto il prodotto delle loro norme.

Quando abbiamo una trasformazione è interessante studiare cosa accade in corrispondenza degli intorni dei punti (in termini di "areole" infinitesimali). Per attingere a queste ed a molte altre informazioni, abbiamo bisogno di uno strumento particolare detto Jacobiano della trasformazione. Lo Jacobiano è un determinante; in particolare è il determinante di una matice detta Matrice Jacobiana, che altro non è se non la "derivata della trasformazione", o, se vogliamo essere tecnici, dell'endomorfismo (in questo caso dal piano complesso in se \( \cdot : \mathbb C \rightarrow \mathbb C\) ). In formule, lo jacobiano si esprime come: $$ \hat J = det\mathrm J = |\mathrm J| = \left|{d(u, v) \over d(x, y)}\right| = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} $$ $$ \hat J = det\mathrm J = |\mathrm J| = \left|{d(u, v) \over d(x, y)}\right| = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} $$ $$ \hat J = det\mathrm J = |\mathrm J| = \left|{d(u, v) \over d(x, y)}\right| $$ $$ \downarrow $$ $$\begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} $$ Ora, l'algebra lineare ci insegna che lo jacobiano è un segnalatore di singolarità. Nei punti in cui è nullo succedono cose strane, la funzione fa i capricci. Le funzioni olomorfe però sono delle ottime alleate, infatti per esse lo jacobiano è sempre positivo (non si annulla mai, naturalmente dove la derivata di \( f\) e' diversa da zero). Dalle condizioni di Cauchy-Riemann si ha: $$ \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & -{\partial v \over \partial x} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial u \over \partial x} \end{vmatrix} = \left({\partial u \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial v \over \partial x}\right)^2 = \left|{ df \over dx }\right|^2 > 0 \hspace{2mm}_\square $$ $$ \small \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & -{\partial v \over \partial x} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial u \over \partial x} \end{vmatrix} = \left({\partial u \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial v \over \partial x}\right)^2 = \left|{ df \over dx }\right|^2 > 0 \hspace{2mm}_\square $$ $$ \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & -{\partial v \over \partial x} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial u \over \partial x} \end{vmatrix} $$ $$ \downarrow $$ $$\left({\partial u \over \partial x}\right)^2 + \left({\partial v \over \partial x}\right)^2 = \left|{ df \over dx }\right|^2 > 0 \hspace{2mm}_\square $$

Per adesso abbiamo solo scalfito la teoria delle funzioni complesse, l'argomento è molto vasto e ricco di concetti straordinari. Vi do appuntamento alla prossima puntata! $$ |the \cdot end| $$