Supponiamo di prendere sue spazi vettoriali \( V \) e \(V'\) e di considerare due basi \( \{e_1, e_2, ..., e_n\} \) e \( \{f_1, f_2, ..., f_n\} \). Se prendiamo un operatore \(A\) e lo facciamo agire su un qualsiasi vettore della base di \(V\):
$$ Ae_n = a_{ni}f_i = $$
$$ a_{n1}f_1 + a_{n2}f_2 + ... + a_{nm}f_m $$
Gli elementi \(a_{ij}\) sono gli elementi (coefficienti) rappresentativi dell'operatore \(A\) rispetto alle basi. Se scegliamo la stessa base, sia in partenza che in arrivo \( A: V\rightarrow V\), l'espressione si puo scrivere come:
$$ Ae_n = a_{ni}e_i$$
Se ora consideriamo il caso in cui \(V = H \) sia uno spazio di Hilbert (dotato di prodotto scalare \(<,>\)), possiamo concentrarci sul caso di una base per il nostro spazio che sia ortonormale \( \{v_1, v_2, ..., v_n\} \) (potendo sempre, data una base qualunque operare il procedimanto di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt) partendo dall' espressione:
$$ Av_n = a_{ni}v_i$$
Moltiplichiamo scalarmente per un elemento \(k\)-esimo della base:
$$ \langle v_k, Av_n \rangle = \langle v_k, a_{ni}v_i \rangle $$
$$ a_{ni} \langle v_k, v_i \rangle = a_{ni} \delta_{ki} = a_{nk}$$
In sostanza, l'elemento di matrice \(a_{nk}\) lo posso vedere come il prodotto scalare (proiezione) dell'operatore lungo il versore \(v_k\): \(\langle v_k, Av_n \rangle\)
$$ \diamond $$
Azione di un operatore / matrice di un operatore
Conoscendo la matrice rappresentativa di un operatore ad esempio \(A\)(limitato o continuo), possiamo risalire a come l'operatore agisce su un generico vettore dello spazio. Infatti \(\forall x \in D_A \), (per ogni vettore nel dominio dell'operatore):
$$ x = \xi_nv_n = \langle v_n, x\rangle v_n $$
$$ A\xi_nv_n = \xi_n A v_n = \xi_n a_{nm} v_m $$
L'ultimo passaggio si puo fare solo se l'operatore è continuo e/o limitato, in quanto abbiamo scambiato l'azione su un vettore limite, con il limite stesso.
Teorema:
Su uno spazio \(V\) a dimensione finita: \( dimV < \infty \) ogni operatore lineare è limitato.
Sarebbe sufficiente per lo spazio essere almeno munito della norma, noi supponiamo vi sia anche il prodotto scalare, quindi \( ||\cdot|| = \sqrt{\langle\cdot, \cdot\rangle} \) Prendiamo una base ortonormale:\( \{v_1, v_2, ..., v_n\} \). Un qualunque vettore si potra scrivere come: $$ x = \sum_{i=1}^n\xi_iv_i $$ La normal allora sarà definita come: $$ ||x|| = ||\sum_{i=1}^n\xi_iv_i|| = \sqrt{\langle \sum_{i=1}^n\xi_iv_i, \sum_{i=1}^n\xi_iv_i\rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^n|\xi_i|^2} $$ Se ora prendiamo l'operatore \(A\) e lo facciamo agire su \(x\) e ne prendiamo la sua norma, avremo $$ || Ax|| =|| A\sum_{i=1}^n\xi_iv_i|| = || \biggl(\sum_{i=1}^n\xi_i \biggr)Av_i|| \leq \sum_{i=1}^n|\xi_i| || Av_i||$$ Se prendiamo il massimo: \( M = max_{i=1...n} || Av_i|| \), possiamo scrivere: $$ |\xi_i| || Av_i|| \leq M\sum_{i=1}^n|\xi_i| \leq Mn\sqrt{\sum_{l=1}^n|\xi_l|^2} = Mn||x||$$ Riassumendo, abbiamo mostrato che: \( \forall x \in V\): $$ ||Ax|| \leq Mn||x|| $$ $$ ||Ax|| \leq R_A||x|| $$ $$ \square $$