Un operatore si dice hermitiano (su uno spazio di Hilbert), quando vale la seguente relazione: $$ A = A^\dagger $$ Oppure detto in altri termini ( \( \small \forall x, y \in \mathbb H \) ) si ha che: $$ \langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle $$
\( \lambda \) reale
Se consideriamo un autovettore \( x_\lambda \small \neq 0 \) relativo ad un autovalore \( \lambda \) in uno spettro discreto, allora abbiamo che, per l'hermitianeità dell'operatore: \( Ax_\lambda = \lambda x_\lambda\): $$ \langle Ax_\lambda, x_\lambda \rangle = \langle x_\lambda, Ax_\lambda \rangle $$ $$ \langle \lambda x_\lambda, x_\lambda \rangle = \langle x_\lambda, \lambda x_\lambda \rangle $$ $$ \lambda^* \langle x_\lambda, x_\lambda \rangle = \lambda \langle x_\lambda, x_\lambda \rangle $$ $$ \lambda^* = \lambda $$ $$ \lambda \in \mathbb R $$ Gli autovalori di un operatore hermitiano sono tutti reali (motivo del perchè in meccanica quantisitca vi si associano le osservabili, il risultato di una misura è un autovalore di un operatore che deve essere reale).

$$ \diamond $$ Ortogonalità

Consideriamo due autovettori con relativi autovalori: \(x_\lambda \leftrightarrow \lambda \) e \(x_\mu \leftrightarrow \mu \). Per l'hermitianeità di \(A\) avremo che: \( Ax_\lambda = \lambda x_\lambda\) ed \( Ax_\mu = \mu x_\mu\). Dalla relazione fondamentale $$ \langle Ax_\lambda, x_\mu \rangle = \langle x_\lambda, Ax_\mu \rangle $$ $$ \langle \lambda x_\lambda, x_\mu \rangle = \langle x_\lambda, \mu x_\mu \rangle $$ $$ \lambda \langle x_\lambda, x_\mu \rangle = \mu\langle x_\lambda, x_\mu \rangle \hspace{2mm} \longrightarrow \hspace{2mm} \begin{cases} \lambda = \mu \\ \lambda \neq \mu \Rightarrow (x_\lambda \bot x_\mu ) \end{cases} $$ In sostanza:.
"Autovettori di un operatore hermitiano corrispondenti ad autovalori distinti sono sempre ortogonali tra di loro!"