Un operatore \(A\) è in sostanza una corrispondenza tra due spazi vettoriali ad es. \(V\) e \(V'\). Si dice operatore da \(V\) in \(V'\) un operatore \(A\) che associa a ciascun elemento di \(V\) un elemento immgine di \(A\) che sta in \(V'\): $$ A: x\in V \rightarrow Ax \in V' $$

Proprietà degli operatori

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• Dominio dell'operatore
  

  Sono tutti i vettori di \(V\) cui ha senso applicare l'operatore \(A\): $$ D_A = dom(A) = \{ x\in V, \exists Ax \in V' \} $$

• Linearità
  

  \(A\) è lineare se e solo se: per ogni \(x, y \in D_A\), \(\alpha, \beta \in \mathbb K\); la sua azione commuta con le operazioni di \(V\) e \(V'\). Si osservi che è sottinteso che l'elemento \(\alpha x+\beta y\in D_A\): $$ A(\alpha x+\beta y) = \alpha Ax+\beta Ay $$

• Immagine
  

  L'immagine di \(A\), sono tutti i vettori \(y\in V'\) che hanno almeno un'antimmagine in \(x\in V\): $$ Im_A = \{ y \in V, \exists ! x \in V, Ax=y \} $$

• Nucleo
  

  Il nucleo di \(A\), sono tutti i vettori del dominio di \(A\) che annullano l'immagine dell'operatore: $$ ker_A = \{ x\in D_A, Ax = 0 \} $$

  1. Se \(A\) è lineare, il nucleo di \(A\) è un sottospazio:
     $$ x_1\in ker_A, x_2\in ker_A $$ $$ Ax_1 = Ax_2 = 0 $$ $$ A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha Ax_1+ \beta Ax_2 = 0 $$ $$ \Downarrow $$ $$ \alpha x_1 + \beta x_2 \in ker_A $$

  2. Se \(A\) è lineare, il nucleo è non vuoto (contiene almeno il vettore nullo: \( 0_V \)): \(ker_a \neq \varnothing \):
     $$ A(0_V) = A(0\cdot 0_V) = 0A(0_V) = 0_{V'} $$