Consideriamo lo spazio: \( \mathcal L(V, V') \) degli operatori lineari e limitati da \(V\) a \(V'\). Si tratta di uno spazio normato, in cui la norma è definita da: $$ ||A||_{\mathcal L} = sup_{||y||_V = 1} \biggl\{ || Ay||_{V'} \biggr\} $$ Se, rispetto alla norma \( ||\cdot||_\mathcal L \) , \(V'\) è completo, allora è uno spazio di Banach.
Presa una successione di Cauchy di operatori \( \{A_n\}_{n\in \mathbb N} \) di \( \mathcal L(V, V') \) (tutti con lo stesso dominio condiviso), dobbiamo mostrare che:
$$ \exists A \in \mathcal L(V, V') \hspace{5mm} t.c. \hspace{5mm} \lim_{n\to\infty} ||A_n - A||_{\mathcal L} = 0$$
Dire che una successione è di Cauchy, sappiamo, significa dire che: \( \forall \epsilon > 0 \), \(\exists m_\epsilon \), tale che: \( \forall m, m' > m_\epsilon \) allora \( ||A_m-A_{m'}||<\epsilon \)
Esplicitiamo la norma:
$$ ||A_m-A_{m'}|| = sup_{||y||_V = 1} \biggl\{ ||A_m y-A_{m'}y||_{V'} \biggr\} < \epsilon $$
Siccome \( \forall y \in D \) (dominio comune a tutti gli operatori di \(||y||_V=1\) abbiamo che:
$$ ||A_m y-A_{m'}y||_{V'} \leq ||A_m-A_{m'}||_\mathcal L$$
La successione \( \{A_ny\}_{n\in \mathbb N} \) è fondamentale di vettori di \(V'\), ma per ipotesi \(V'\) è completo, quindi essa converge ad un certo \(z_y \in V'\)
$$ z_y = \lim_{n\to\infty} A_ny \hspace{1cm} \forall y $$
Definiamo ora il seguente "operatore limite" dato (\( x\in D \)):
$$A: x \rightarrow ||x||_V\lim_{n\to\infty}An\left({x \over ||x||_V}\right) $$
- Esso è anzitutto un operatore lineare:
$$ A(\alpha x + \beta y) = ||\alpha x + \beta y||_V\lim_{n\to\infty}An\left({\alpha x + \beta y \over ||\alpha x + \beta y||_V}\right) = $$ $$\small = ||\alpha x + \beta y||_V\lim_{n\to\infty}\left({\alpha ||x||_V \over ||\alpha x + \beta y||_V} A_n{x \over ||x||_V} + {\beta ||x||_V \over ||\alpha x + \beta y||_V} A_n{y \over ||y||_V}\right) = $$ $$\small = \alpha ||x||_V \lim_{n\to\infty} \left( A_n{x \over ||x||_V} \right) + \beta ||x||_V\lim_{n\to\infty}\left( A_n{y \over ||y||_V}\right) = $$ $$ \alpha Ax + \beta Ay $$ E quindi \(A\) è un operatore lineare -
Occorre ora dimostrare che \(A\) sia limitato, ossia che \(A \in \mathcal L(V, V') \):
Ricordiamo la definizione di successione di Cauchy: \( \forall \epsilon > 0 \), \(\exists m_\epsilon \), tale che: \( \forall m, m' > m_\epsilon \) allora \( ||A_m-A_{m'}||<\epsilon \)
Scelto quindi un \( \epsilon \), scegliamo un certo \(\overline{m} > m_\epsilon \)
Prendiamo un \( y \in D \), tale che: \( ||y||_V = 1 \)
Facciamo agire su \(y\), l'operatore \(A\): (\( Ay\)), ed osserviamo che la norma di \(Ay\) la possiamo scrivere come: $$ ||Ay||_{V'} = ||Ay-A_{m'}y + A_{m'}y||_{V'} \leq ||Ay-A_{m'}y||_{V'} + \color{#0000aa}{||A_{m'}y||_{V'}}\leq $$ $$ \leq ||Ay-A_{m'}y||_{V'} + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}y||_{V'}} \leq ||Ay-A_{m'}y||_{V'} + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} $$ Dove \( \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} \) è un numero finito che non dipende da \(y\). Ci concentriamo allora solo su: \(||Ay-A_{m'}y||_{V'}\):
Possiamo scrivere ancora introducendo un certo \( \color{#aa0000}{n} \) come: $$ ||Ay - A_{\color{#aa0000}{n}}y + A_{\color{#aa0000}{n}}y -A_{m'}y||_{V'} + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} \leq $$ $$ \leq ||Ay - A_{\color{#aa0000}{n}}y||_{V'} + ||A_{\color{#aa0000}{n}}y -A_{m'}y||_{V'} + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} $$ Ora mi ricordo che: \(Ay = \lim_{n\to\infty} A_ny \) e cioè che: dato un certo \( \epsilon > 0 \) esisterà \(\nu_\epsilon \in \mathbb N \) tale che \( \forall n > \nu_\epsilon \), allora \( ||Ay - A_{n}y||_{V'} < \epsilon \).
Se ora prendiamo l'indice \(\color{#aa0000}{n} > max\{\nu_\epsilon , m_\epsilon \}\) avremo che: $$ ||Ay - A_{\color{#aa0000}{n}}y||_{V'} + ||A_{\color{#aa0000}{n}}y -A_{m'}y||_{V'} + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} \leq \epsilon + ||A_{\color{#aa0000}{n}} -A_{m'}||_{\mathcal L} + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} $$ Siccome sia \(n\), che \(\overline{m}\) sono maggiori di \(m_\epsilon \) $$ \epsilon + ||A_{\color{#aa0000}{n}} -A_{m'}||_{\mathcal L} + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} \leq \epsilon + \epsilon + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} = $$ $$ = 2\epsilon + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} $$ Passando al sup: $$ sup_{||y||_V = 1} ||Ay||_{V'} < 2\epsilon + \color{#0000aa}{||A_{\overline{m}}||_{\mathcal L}} $$ $$ \Downarrow $$ $$ A \in \mathcal L(V, V') $$ -
Vogliamo dimostrare che \( \lim_{n\to\infty} ||A- A_n||_{\mathcal L} = 0 \)
(Reductio ad absurdum)
Supponiamo che \( \lim_{n\to\infty} ||A- A_n||_{\mathcal L} \neq 0 \)
Allora esiste \( \eta > 0 \) tale che: per ogni \( m \in \mathbb N \) esiste \(M > n \) ed esiste \( ||y_M||_V = 1 \) tali che: $$ ||Ay_M - A_My_M||_{V'} \geq \eta $$ Dalla condizione di Cauchy: scelto \( \epsilon = {\eta \over 2} \), \(\exists m_{\eta \over 2} \), tale che: \( \forall m, m' > m_{\eta \over 2} \) allora \( ||A_m-A_{m'}||<{\eta \over 2} \).
Scegliamo \( M > {\eta \over 2} \), avremo che: $$ \eta \leq ||Ay_M - A_My_M||_{V'} = $$ $$ ||Ay_M -A_\color{#aa0000}{n}y_M + A_\color{#aa0000}{n}y_M - A_My_M||_{V'} \leq ||Ay_M -A_\color{#aa0000}{n}y_M ||_{V'} + || A_\color{#aa0000}{n}y_M - A_My_M||_{V'} $$ Ci ricordiamo che per costruzione: dato \( \eta > 0 \) esiste un indice \( \nu_{\eta \over 2} \in \mathbb N \) tale che per ogni \( n> \nu_{\eta \over 2} \) (con \(y_M\) fissato: $$ || Ay_M -A_ny_M||_{V'} < {\eta \over 2} $$ A questo punto se prendiamo \(\color{#aa0000}{n} > max\{\nu_{\eta \over 2} , m_{\eta \over 2} \}\), avremo che: $$ ||Ay_M -A_\color{#aa0000}{n}y_M ||_{V'} + || A_\color{#aa0000}{n}y_M - A_My_M||_{V'} \leq {\eta \over 2} + ||A_n-A_M||_{\mathcal L} < \eta $$ quindi lo stesso numero deve essere contemporaneamente: $$ \eta \leq ||Ay_M - A_My_M||_{V'} < \eta $$