Un operatore si dice unitario (su uno spazio di Hilbert), \(U: \mathbb H \rightarrow \mathbb H\), se e solo se, conserva la norma. Sufficiente per garantire che conservi il prodotto scalare in generale \( \langle \cdot, \cdot \rangle \) $$ \langle Ux, Ux \rangle = \langle x, x \rangle \hspace{1cm} \forall x \in \mathbb H $$ $$ \langle U(x+y), U(x+y) \rangle = \langle x+y, x+y \rangle = \langle Ux + Uy, Ux + Uy \rangle = $$ $$ = \langle Ux, Ux \rangle + \langle Ux, Uy \rangle + \langle Uy, Ux \rangle + \langle Uy, Uy \rangle = $$ $$ = \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle = $$ $$ = \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle $$ $$ $$ $$ \langle Ux, Uy \rangle + \langle Uy, Ux \rangle = \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle $$

Nel caso complesso $$ \langle U(x+iy), U(x+iy) \rangle = \langle x+iy, x+iy \rangle = \langle Ux + U(iy), Ux + U(iy) \rangle = $$ $$ = \langle Ux, Ux \rangle + \langle Ux, U(iy) \rangle + \langle U(iy), Ux \rangle + \langle U(iy), U(iy) \rangle = $$ $$ = \langle x, x \rangle + \langle x, iy \rangle + \langle iy, x \rangle + \langle iy, iy \rangle = $$ $$ $$ $$ \langle Ux, Uy \rangle - \langle Uy, Ux \rangle = \langle x, y \rangle - \langle y, x \rangle $$

E quindi si conclude che: $$ \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle $$ oppure $$ \langle U^\dagger Ux, y \rangle = \langle x, y \rangle \hspace{1cm} \forall x, y \in \mathbb H $$ $$ U^\dagger U = \mathbb I $$ $$ $$ Proprietà: autovalori ed operatori unitari

Se supponiamo che \(x_\lambda\) sia un autovettore di un operatore unitario \( U \); possiamo scrivere che: $$ Ux_\lambda = \lambda x_\lambda $$ $$ \langle Ux_\lambda, Ux_\lambda \rangle = \langle x_\lambda, x_\lambda \rangle $$ $$ \langle \lambda x_\lambda, \lambda x_\lambda \rangle = \langle x_\lambda, x_\lambda \rangle $$ $$ \lambda^* \lambda\langle x_\lambda, x_\lambda \rangle = \langle x_\lambda, x_\lambda \rangle $$ $$ \lambda^* \lambda = |\lambda|^2 = 1 $$ Tutti gli autovalori di un operatore unitario stanno sul cerchio complesso di centro l'origine e raggio 1. ("sono lunghi 1").