Il prodotto scalare è un'operazione che prende due vettori \(x\) ed \(y\) di uno spazio vettoriale \( V\)
ed a questi associa uno scalare del campo \(\mathbb K \).
$$ <,> : V \times V \rightarrow \mathbb K $$
Il prodotto scalare deve soddisfare alle seguenti proprietà:
- \( \langle x, \alpha y + \beta z \rangle = \alpha\langle x, y\rangle + \beta\langle x, z\rangle \)
- \( \langle x, y \rangle = \langle x, y \rangle^* \)
- \( \langle x, x \rangle \geq 0 \)
Un'altra proprietà conseguenza delle proprietà di base è che deve valere:
\( \langle \alpha x + \beta y, z \rangle \)
Infatti usando la simmetria avremo che:
\( \langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \langle z, \alpha x + \beta y \rangle^* \). Ma per la proprietà di linearità a destra sopra definita si ha: \( \langle z, \alpha x + \beta y \rangle^* = [\alpha \langle z, x \rangle + \beta \langle z, y \rangle]^* =
\alpha^* \langle z, x \rangle^* + \beta^* \langle z, y \rangle^* = \alpha^* \langle x, z \rangle + \beta^* \langle y, z \rangle \). Nella linearità a sinistra bisogna coniugare gli scalari.
Disuguaglianza di Schwarz
Consideriamo due vettori \(x\) ed \(y\) in \(V\) ed un generico scalare \(\alpha\). Calcoliamo il seguente prodotto scalare:
$$ \langle \alpha x +y, \alpha x +y \rangle \geq 0 $$
$$ \langle \alpha x +y, \alpha x +y \rangle = \alpha\langle \alpha x +y, x \rangle + \langle \alpha x +y, y \rangle = $$
$$ = \alpha\alpha^*\langle x, x \rangle + \alpha\langle y, x \rangle + \alpha^*\langle x, y \rangle +\langle y, y \rangle \geq 0 $$
Se ora scegliamo \( \alpha = \rho e^{i arg(\langle x, y \rangle)} \):
\( \langle \alpha x +y, \alpha x +y \rangle \) \( = \rho e^{i arg(\langle x, y \rangle)} \rho^* e^{-i arg(\langle x, y \rangle)} \langle x, x \rangle + \) \( \rho e^{i arg(\langle x, y \rangle)}\langle y, x \rangle + \rho^* e^{-i arg(\langle x, y \rangle)} \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle = \)
\( \rho\rho^*\langle x, x \rangle +2\rho|\langle x, y \rangle| + \langle y, y \rangle \geq 0 \).
$$ \rho^2\langle x, x \rangle +2\rho|\langle x, y \rangle| + \langle y, y \rangle \geq 0 $$
Questa relazione è totlamente reale. Si tratta di un trinomio di secondo grado in \( \rho \) al quale chiediamo di essere sempre \( \geq 0 \). Questo accade quando il suo discriminante è sempre negativo o al piu uguale a zero (dal momento che il coefficiente relativo la termine di grado massimo è sempre positivo \( \langle x, x \rangle \geq 0\) ).
$$ \Delta = b^2 - 4ac = \left( 2|\langle x, y \rangle| \right)^2 -4\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle $$ $$ |\langle x, y \rangle|^2 -\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle \leq 0 $$ $$ |\langle x, y \rangle| \leq \sqrt{\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle} $$ La relazione è chiamata Disuguaglianza di Schwarz:
$$ \diamond\diamond $$
Disuguaglianza di Minkowsky
Consideriamo due vettori \(x\) ed \(y\) in \(V\) (spazio euclideo con prodotto scalare \( \langle,\rangle \) ):
Se consideriamo il prodotto scalare \( \langle x + y, x + y \rangle \). Dalle proprietà del prodotto scalare avremo:
\( \langle x + y, x + y \rangle = \langle x + y , x \rangle + \langle x + y, y \rangle = \)
\( \langle x, x \rangle + \langle y, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle = \)
\( \langle x, x \rangle + 2Re\{\langle x, y \rangle\} + \langle y, y \rangle \).
Dalla catena di maggiorazioni:
\( \langle x, x \rangle + 2Re\{\langle x, y \rangle\} + \langle y, y \rangle \leq \langle x, x \rangle + 2|Re\{\langle x, y \rangle\}| + \langle y, y \rangle \leq \)
\( \langle x, x \rangle + 2| \langle x, y \rangle| + \langle y, y \rangle \)
Per la Disuguaglianza di Schwarz:
\( \langle x, x \rangle + 2| \langle x, y \rangle| + \langle y, y \rangle \leq \langle x, x \rangle + 2\sqrt{\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle} + \langle y, y \rangle \)
Questo trinomio è un quadrato, in particolare:
$$ \langle x, x \rangle + 2\sqrt{\langle x, x \rangle \langle y, y \rangle} + \langle y, y \rangle = \left(\sqrt{\langle x, x \rangle} + \sqrt{\langle y, y \rangle} \right)^2 $$
Estraendo la radice quadrata arriviamo alla Disuguaglianza di Minkowsky:
$$ \sqrt{\langle x + y, x + y \rangle} \leq \sqrt{\langle x, x \rangle} + \sqrt{\langle y, y \rangle} $$
$$\square $$
$$ \diamond\diamond $$
Sistema Ortogonale/Ortonormale
Due vettori \(x\) ed \(y\) sono ortogonali se e solo se \( \langle x, y\rangle = 0 \). Diretta conseguenza di questo fatto è il seguente corollario:L'unico vettore ortogonale a tutti i vettori dello spazio è il vettore nullo
Se succede che \(\forall y \in V\) il prodotto scalare \( \langle x, y\rangle = 0 \); allora questo significa che: \( x = 0\) e viceversa.
$$ \Leftarrow $$
Supponiamo che \( \langle 0, y\rangle = 0 \), allora possiamo scrivere: \( \langle (x-x), y\rangle = 0 = \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle \)
$$\square $$$$ \Rightarrow $$ Supponiamo che un vettore è ortogonale a tutti i vettori di \( V\). In particolare sarà quindi ortogonale anche a se stesso: \( \langle x, x\rangle = 0 \), quindi \(x=0\). $$ \square $$
Un sistema (\( v_1, ...v_n\) ) è ortogonale se, presi due vettori a coppia (per qualsiasi coppia):
$$ \langle v_i, v_j \rangle = 0, \hspace{1cm} (i\neq j) $$ Un sistema di vettori ortogonali senza il vettore nullo è un sistema linearmente indipedente, infatti una generica combinazione lineare nulla: $$ \sum_{i=1}^n \alpha_iv_i = 0 $$ $$ \downarrow $$ $$ \langle v_j, \sum_{i=1}^n \alpha_iv_i\rangle = \langle v_j, 0\rangle = 0 = \sum_{i=1}^n\alpha_i\langle v_j, v_i\rangle $$ Siccome \( \langle v_j, v_i\rangle \neq 0 \) solo per \( i=j\), di tutta la somma resterà solo \( \alpha_j\langle v_i, v_i\rangle \), e siccome \(\langle v_i, v_i\rangle \neq 0\), per la legge di annullamento del prodotto deve essere per forza \( \alpha_j = 0\). $$ \square $$