Consideriamo un campo scalare \( \Phi \) e calcoliamone il gradiente
$$ \nabla(\Phi) = \frac{\partial(\Phi)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial z}\hat{k} $$ Ora prendiamo il campo gradiente e facciamone il rotore; ciò è in perfetto accordo con la compatibilità tra operatori, nel senso che tale operazione è possibile in quanto stiamo calcolando il rotore di un campo vettoriale.
$$ {\large \nabla \times \nabla\Phi =
\begin{vmatrix}
\widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\
\frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}}& \frac{\partial}{\partial{z}} \\
\frac{\partial(\Phi)}{\partial x} & \frac{\partial(\Phi)}{\partial y} & \frac{\partial(\Phi)}{\partial z} \\
\end{vmatrix}} $$
Svolgendo i passaggi mediante la definizione di rotore otteniamo:
\(
= \widehat{i}\begin{vmatrix}
\frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\
\frac{\partial(\Phi)}{\partial y} & \frac{\partial(\Phi)}{\partial z} \\
\end{vmatrix}
\)
\(
- \widehat{j}\begin{vmatrix}
\frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\
\frac{\partial(\Phi)}{\partial x} & \frac{\partial(\Phi)}{\partial z} \\
\end{vmatrix}
\)
\(
+ \widehat{k}\begin{vmatrix}
\frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} \\
\frac{\partial(\Phi)}{\partial x} & \frac{\partial(\Phi)}{\partial y} \\
\end{vmatrix} =
\)
$$ \require{cancel}
= \left( \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y\partial z}} - \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z\partial y}} \right)\hat{i} +
\left( \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z\partial x}} - \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x\partial z}} \right)\hat{j} +
\left( \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x\partial y}} - \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y\partial x}} \right)\hat{k} = (0, 0, 0)$$
$$ \require{cancel}
= \left( \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y\partial z}} - \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z\partial y}} \right)\hat{i} +
\left( \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z\partial x}} - \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x\partial z}} \right)\hat{j} +
\left( \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x\partial y}} - \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y\partial x}} \right)\hat{k} = (0, 0, 0)$$
$$ \require{cancel}
= \left( \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y\partial z}} - \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z\partial y}} \right)\hat{i} + $$
$$ \left( \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z\partial x}} - \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x\partial z}} \right)\hat{j} + $$
$$\left( \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x\partial y}} - \bcancel{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y\partial x}} \right)\hat{k} =$$ $$ = (0, 0, 0)$$
E per il Teorema di Schwarz sull'uguaglianza delle derivate parziali seconde miste si ha banalmente per elisione dei termini uguali ed opposti:
l'identità fondamentale, ossia: il rotore del gradiente è zero: (Attenzione che si tratta del vettore nullo).
$$ {\LARGE \nabla\times\nabla\Phi = \vec{0} } $$
