Rotore di un campo vettoriale

Degli operatori vettoriali e differenziali il rotore o come direbbero gli anglosassoni: curl, è forse quello più sofisticato di tutti , perche la sua formulazione risulta abbastanza complicata da memorizzare in un primo momento, tantè che i matematici o i fisici si sono inventati un trucchetto mnemonico del determinante simbolico per ricordare o meglio (ricavarsi) la formula del rotore!

Consideriamo un campo vettoriale $ F : {\mathbb R}^3 \rightarrow {\mathbb R}^3 $. Il rotore di $ F $ è un nuovo campo vettoriale che si ottiene a partire da $ F $ le cui componenti si possono ricavare attraverso la formula del determinante simbolico:

Il determinante simbolico è definito come segue: $$ \color{#007080}{{\large \nabla \times F = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \end{matrix} \right| = rotF }}$$ $$ \color{#007080}{{\large \nabla \times F = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \end{matrix} \right| = rotF }}$$ $$ \color{#007080}{{\large \nabla \times F = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \end{matrix} \right| }}$$ $$ \downarrow $$ $$ = {\large rotF }$$

Per ricavare la formula del rotore in coordinate cartesiane, bisogna sviluppare il determinante rispetto alla prima riga secondo l'algoritmo di Laplace. Infatti impiegando la notazione con l'uso di nabla, il rotore può essere interpretato(con le dovute convenzioni) come il prodotto vettoriale di nabla con $ F $. Svolgendo i passaggi abbiamo che:

$ \nabla \times F = \begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}}& \frac{\partial}{\partial{z}} \\ F_x & F_y & F_z \\ \end{vmatrix} $ $ = \widehat{i}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ F_y & F_z \\ \end{vmatrix} $ $ - \widehat{j}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ F_x & F_z \\ \end{vmatrix} $ $ + \widehat{k}\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} \\ F_x & F_y \\ \end{vmatrix} = $

$$ = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)\hat{k} = $$ $$ = \left( rotF_x\hat{i} + rotF_y\hat{j} + rotF_z\hat{k} \right) = rotF $$ $$ = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)\hat{k} = $$ $$ = \left( rotF_x\hat{i} + rotF_y\hat{j} + rotF_z\hat{k} \right) = rotF $$ $$ = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\hat{i} $$ $$\left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right)\hat{j} $$ $$\left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)\hat{k} = $$ $$ = \left( rotF_x\hat{i} + rotF_y\hat{j} + rotF_z\hat{k} \right) = $$ $$ = {\Large rotF} $$ Come si osserva l'espressione del rotore ha tre componenti in cui compaiono differenze di derivate parziali; in particolare nella componente $x $ del rotore $ rot(F)_x $ non compare la derivata parziale lungo $x $, nella componente $ rot(F)_y $ non compare la derivata parziale lungo $y $ e nella componente $ rot(F)_z $ non compare la derivata parziale lungo $z $. Questa osservazione è fondamentale ai fini della piena comprensione della formula del rotore, perchè ci da alcuni indizi di come è orientato il campo lungo le tre direzioni spaziali.

Come vedremo, successivamente è possibile esprimere il rotore in altri sistemi di coordinate (cilindriche, polari ...) la definizione data sopra fa riferimento alle coordinate cartesiane euclidee rettangolari; (quelle più semplici ca comprendere all'inizio). Diamo ora un'interpretazione fisica della formula del rotore; in seguito daremo la definizione analitica del rotore.

Interpretazione fisica

Per capire ciò che descrive fisicamente la formula del rotore, immaginiamo una foglia posata su di un flusso d'acqua, la cui velocità delle particelle d'acqua è descritta dal campo vettoriale delle velocità $ V $.