Una serie è sostanzialmente la somma di un numero infinito di termini. Data una successione \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) si definisce somma parziale M-esima la successione \( \{S_M\}_{M\in \mathbb N} \), il cui termine generico è dato dalla somma dei primi \(M\) termini della successione generatrice \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \). $$S_M = \sum_{n=1}^M x_n $$ Diremo che la serie \( \sum_{n=1}^\infty x_n \) converge al vettore \(S\), se e solo se, la successione delle somme parziali converge ad \(S\):


Se una serie converge, necessariamente il limite della generatrice deve essere nullo $$ \sum_{n=1}^\infty x_n \Rightarrow \lim_{n\to\infty} x_n = 0 $$ Se infatti esprimiamo la somma della serie come limite delle somme parziali: $$ S = \lim_{M\to \infty}\sum_{n=1}^M x_n $$ $$ S = \lim_{M\to \infty}\sum_{n=1}^{M+1}x_n $$ Sottraendo membro a membro: $$ 0 = \lim_{M\to \infty} x_{M+1} $$ $$ \square $$


Serie fondamentale: Criterio di Cauchy per le serie
La serie \( \sum_{n=1}^\infty x_n \) è fondamentale se e solo se lo è la successione delle somme parziali: \( \{S_M\}_{M\in \mathbb N} \) ossia se: Per ogni \( \epsilon > 0\) esiste un certo \(m_\epsilon \in \mathbb N\) tale che, per ogni coppia di indici \(M, M' > m_\epsilon \), la norma \( ||S_M - S_{M'} ||<\epsilon \). Supponiamo che \( M'>M\): $$ || S_{M'} - S_M || = ||x_{M+1}+x_{M+2}+x_{M+3}+\ldots+x_{M+M'-M}|| = $$ $$ \left|\left| \sum_{j=1}^{M'-M} x_{M+j} \right|\right| $$ Quindi la serie è fondmentale se:
Per ogni \( \epsilon > 0\) esiste un certo \(m_\epsilon \in \mathbb N\) tale che, per ogni coppia di indici \(M > m_\epsilon \) e per ogni \(K=M'-M\in \mathbb N\), la norma \( \left|\left| \sum_{j=1}^{K} x_{M+j} \right|\right|<\epsilon \).
Applicando \(K\) volte la disuguaglianza di Minkowski, avremo che: $$ \left|\left| \sum_{j=1}^{K} x_{M+j} \right|\right| \leq \sum_{j=1}^{K} ||x_{M+j}|| $$ In sostanza se: \( \sum_{n=1}^\infty|| x_n|| \) è fondamentale, allora \( \sum_{n=1}^\infty x_n \) è fondamentale.