Se prendiamo lo spazio de polinomi \( P_{[a, b]} \) con \(P: x\in [a, b] \rightarrow p(x) \in \mathbb C\) e definiamo il seguente prodotto scalare: $$ \langle p, q\rangle := \int_a^b p^*(x)q(x) dx $$ E' facile accorgersi che questo spazio non è completo. Basta considerare una successione di Cauchy di polinomi: \( \{ p_n\}_{n \in \mathbb N} \) in cui ricordando che: $$ \forall \epsilon > 0, \exists m_\epsilon \in \mathbb N, tc, \forall m, m' > m_\epsilon \rightarrow ||p_m-p_{m'}|| < \epsilon $$ La norma in particolare sarà: $$ \sqrt{\int_a^b\langle p_m-p_{m'}, p_m-p_{m'}\rangle dx} = \sqrt{\int_a^b| p_m-p_{m'}|^2 dx}$$ E' chiaro che i polinomi non bastano, bisogna estendere l'insieme:
$$ \diamond\diamond $$
Spazio delle funzioni continue
Consideriamo lo spazio vettoriale delle funzioni continue in \([a, b]\): $$ C_{[a,b]} = \{ f:x\in[a,b] \rightarrow f(x)\in \mathbb C\} $$ Naturalmente in questo spazio, se prendiamo due funzioni \(f\) e \(g\) e due coefficienti \(\alpha\) e \(\beta\) complessi:- \( \alpha f + \beta g \in C_{[a,b]} \)
(Cerchiamo di capire se si tratta di uno spazio di Hilbert) definendo il prodotto scalare come: $$ \langle p, q\rangle := \int_a^b f^*(x)g(x) dx $$ E' facile verificare che questa definizione soddisfa a tutte le proprietà del prodotto scalare; particolare attenzione merita la proprietà per cui \( \langle f, f \rangle \geq 0, =0 \iff f = 0 \), sarebbe come richiedere che: $$ \langle f, f\rangle := \int_a^b f^*(x)f(x) dx = \int_a^b |f(x)|^2 dx = 0 $$ Questo non significa che \(f=0\), ma che essa è una funzione quasi ovunque nulla secondo Riemann, cioè: (nulla in tutto \([a, b]\), tranne che in un insieme finito di punti a misura nulla secondo Riemann). Per essere uno spazio di Hilbert, bisogna avere:
- Dimensione infinita
- Spazio Euclideo
- Spazio Completo
Non completezza
Mentre le prime due condizioni sono verificate, la completezza non lo è. Infatti per mostrarlo, bisogna trovare una successione di Cauchy che converge fuori dallo spazio (una successione che converge ad una funzione non continua in \([a, b]\)). Ad esempio mettiamoci in \([-1, 1]\): $$ f(x) = \begin{cases} 1, -1 \leq x < 0 \\ 1-mx, 0 \leq x < {1\over m} \\ 0, {1\over m} \leq x \leq 1 \end{cases} $$ Questa successione è chiaramente fonfamentale, ma converge ad una funzione fuori dal nostro spazio (una funzione non continua: il gradino) Questo spazio quindi non va bene!
