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Successioni di numeri reali
Analisi Reale
di Giuseppe Sottile


Consideriamo una successione di numeri reali {xn}nNR. Supponiamo che la successione sia convergente: limnxn=x>0.

Questo significa che esisterà un certo indice n di modo che per tutti i termini ad indice maggiore di n la successione prenderà il segno del limite. xn>0

Primo teorema del confronto

Consideriamo tre successioni {xn}nN, {yn}nN e {zn}nN di modo che valga la disuguaglianza: xn<yn<zn Supponiamo inoltre che i limiti delle successioni estreme siano uguali ad un certo x: {limnxn=xlimnzn=x Allora anche il limnyn=x.


Infatti abbiamo che: ϵ>0,νxϵ,t.c.n>νxϵ,||xxn||<ϵ3 ϵ>0,νzϵ,t.c.n>νzϵ,||xzn||<ϵ3 Se prendiamo il max{νxϵ,νzϵ}=νϵ Le due relazioni saranno soddisfatte contemporaneamente, quindi per tutti gli n>νϵ avremo che: |xyn|=|xxn+xnyn|Minkowski|xxn|+|xnyn| Siccome so che xn<yn<zn allora avremo che: |xxn|+|xnyn||xxn|+ynxn|xxn|+|znxn|= |xxn|+|znx+xxn|Minkowski2|xxn|+|znx|n>νϵ<2ϵ3+ϵ3=ϵ



Secondo teorema del confronto

Consideriamo due successioni {xn}nN, {yn}nN. Se xnyn,nN Ed inoltre le successioni convergono ai limiti: {limnxn=xlimnyn=y Allora xy


Se fosse per assurdo xy esisterebbe un νN t.c. n>ν avremo ynxn0



Successione monotona limitata Convergente

Consideriamo una successione monotona crescente ossia: {xn}nN, con xn+1xn nN. Se è limitata superiormente. Allora è convergente


Sia X=n{xn} l'insieme di tutti i termini della successione. Esso sarà un sottoinsieme di XR superiormente limitato (per ipotesi). λR,λ>xnn Essendo R completo ed essendo X suo sottoinsieme, esso ammetterà estremo superiore, cioè xR x=sup(X) Cioè: ϵ>0xνt.c. xxν<ϵ Siccome xnxνn>ν allora xxnxxν<ϵ







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