Consideriamo tre successioni {xn}n∈N, {yn}n∈N e {zn}n∈N di modo che valga la disuguaglianza: xn<yn<zn Supponiamo inoltre che i limiti delle successioni estreme siano uguali ad un certo x: {limn→∞xn=xlimn→∞zn=x Allora anche il limn→∞yn=x.
Infatti abbiamo che: ∀ϵ>0,∃νxϵ,t.c.∀n>νxϵ,||x−xn||<ϵ3 ∀ϵ>0,∃νzϵ,t.c.∀n>νzϵ,||x−zn||<ϵ3 Se prendiamo il max{νxϵ,νzϵ}=νϵ Le due relazioni saranno soddisfatte contemporaneamente, quindi per tutti gli n>νϵ avremo che: |x−yn|=|x−xn+xn−yn|Minkowski⏞≤|x−xn|+|xn−yn| Siccome so che xn<yn<zn allora avremo che: |x−xn|+|xn−yn|≤|x−xn|+yn−xn≤|x−xn|+|zn−xn|= |x−xn|+|zn−x+x−xn|Minkowski⏞≤2|x−xn|+|zn−x|n>νϵ⏞<2ϵ3+ϵ3=ϵ ◻
Consideriamo due successioni {xn}n∈N, {yn}n∈N. Se xn≤yn,∀n∈N Ed inoltre le successioni convergono ai limiti: {limn→∞xn=xlimn→∞yn=y Allora x≤y
Se fosse per assurdo x≥y esisterebbe un ν∈N t.c. ∀n>ν avremo yn−xn≤0 ◻
Consideriamo una successione monotona crescente ossia: {xn}n∈N, con xn+1≥xn ∀n∈N. Se è limitata superiormente. Allora è convergente
Sia X=⋃n{xn} l'insieme di tutti i termini della successione. Esso sarà un sottoinsieme di X⊆R superiormente limitato (per ipotesi). ∃λ∈R,λ>xn∀n Essendo R completo ed essendo X suo sottoinsieme, esso ammetterà estremo superiore, cioè ∃x∈R x=sup(X) Cioè: ∀ϵ>0∃xνt.c. x−xν<ϵ Siccome xn≥xν∀n>ν allora x−xn≤x−xν<ϵ ◻