La formula di Taylor di Giuseppe Sottile

Se c'è uno strumento, che ogni fisico e/o matematico deve assolutamente conoscere, questo è la Formula di Taylor, che rappresenta il coltellino svizzero, tuttofare, che risolve i problemi ogni qualvolta ci si presenta un mostro di funzione o espressione irrisolvibile per via analitica, ma approssimabile in ogni caso. Prima di iniziare, vi presento la formula e poi la spieghiamo:

$$ f(x)_{x_0, k} = \sum_{k=0}^\infty \left( {f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k \over k! } \right) $$

Perchè è così importante, questa formula? La risposta è triviale! Essa ci permette di "approssimare" - con il grado di precisione voluto - localmente, in un intorno, una qualunque funzione, anche la più sofisticata con un polinomio costituito da una somma di termini potenza o anche serie di potenze. Gli impatti applicativi sono impressionanti. Quando non si riesce a risolvere analiticamente un problema per via diretta (quasi sempre nella realtà) si ricorre spesso alla serie di Taylor in una o più variabili (ed all'altro caposaldo, la serie di Fourier per i discorsi sulle onde), per approssimare, ridurre - o come direbbero gli ingegneri - "rilassare" determinati vincoli o termini e risolvere l'approssimazione semplicemente, con un margine di errore minimo.

$$ \diamond $$

Definizione della formula

Consideriamo una funzione reale di una variabile reale: $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R $, ed un punto del dominio $ x_0 $. Su questo punto (detto centro), consideriamo un intorno estremi $ x_0-\epsilon, x_0+\epsilon $. E' proprio quì, che vogliamo approssimare il comportamento di $ f$, quando $ \epsilon \rightarrow 0 $. Guardate la formula che vi ho presentato. Osservate che compare la derivata k-esima di $f$ per $ k \rightarrow \infty$ , questo significa che la funzione deve essere perlomeno derivabile $ \infty $ volte, altrimenti non sarei in grado di calcolare i coefficienti $ f^{(k)}(x_0) $. La derivabilità è un ingrediente essenziale, ma non preoccupatevi, quasi tutte le funzioni "ordinarie" lo sono è non fanno i "capricci"...

Riassumendo, la formula è una somma, dove il generico termine della somma assume la seguente espressione: $$ {f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k \over k! } $$ dove: $ f^{(k)}(x_0) $ è un numero e rappresenta la derivata $ k$-esima valutata nel punto $ x_0$. $ (x-x_0)^k$ è il cosiddetto polo della funzione, e rappresenta l'indicatore del "luogo" entro cui sto operando (in questo caso nel centro $ x_0$ ), infine $ k! $ è il fattoriale di un numero (ossia il prodotto di tutti i fattori $ \prod_{i=1}^k k = 1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot k$ ).

Proviamo ad esplicitare la formula, in modo da visualizzare questo mega-polinomio che ne viene fuori.

$$ \sum_{k=1}^\infty {f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k \over k! } = {1\over 0!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^0 + {1\over 1!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^1 + {1\over 2!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^2 + \ldots + {1\over k!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^k $$

$$ \sum_{k=1}^\infty {f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k \over k! } = {1\over 0!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^0 + {1\over 1!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^1 + \\ + {1\over 2!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^2 + \ldots + {1\over k!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^k $$

$$ \sum_{k=1}^\infty {f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k \over k! } = \\ = {1\over 0!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^0 + \\ + {1\over 1!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^1 + \\ + {1\over 2!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^2 + \\ + \ldots + {1\over k!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^k $$

o più semplicemente, sapendo che l'elevamento a potenza $ 0 $ è sempre $ 1$, che l'elevamento a potenza $ 1$ è invariante e che $ 0! = 1! = 1$ si ha:

$$ \sum_{k=1}^\infty {f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k \over k! } = f^{(0)}(x_0) + f^{(0)}(x_0)(x-x_0) + {1\over 2} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^2 + \ldots + {1\over k!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^k $$

$$ \sum_{k=1}^\infty {f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k \over k! } = f^{(0)}(x_0) + f^{(0)}(x_0)(x-x_0) + \\ + {1\over 2} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^2 + \ldots + {1\over k!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^k $$

$$ \sum_{k=1}^\infty {f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k \over k! } = \\ = f^{(0)}(x_0) + f^{(0)}(x_0)(x-x_0) + \\ + {1\over 2} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^2 + \\ + \ldots + {1\over k!} f^{(0)}(x_0)(x-x_0)^k $$

$$ \diamond $$

Formula alla Mc-Laurin

Quando il centro $ x_0 = 0 $ è nullo, la serie di Taylor si chiama serie di Mc-Laurin, ma non è nulla di nuovo, solo una questione di nomenclatura (tra matematici ci si capisce ;) ) $$ { \sum_{k=1}^\infty {f^{(k)}(0) x^k \over k! } } $$

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Convergenza della serie di Taylor

Il fatto straordinario di questa formula, come già accennato riguarda il fatto che possiamo pprossimare una qualsiasi funzione con un mega-polinomio di grado arbitrario. Maggiore è il grado del polinomio, maggiore sarà l'approssimazione del grafico, rispetto al polinomio stesso e minore sarà l'errore commesso (resto).

Si dice che $ f $ è sviluppabile secondo Taylor o sviluppabile in serie di Taylor su $ [a, b]$, se vale la seguente eguaglianza $ \forall x \in [a, b]$: $$ f(x) = \sum_{k=1}^\infty {f^{(k)}(x_0) (x-x_0)^k \over k! } $$ Si dice in questo caso che la funzione converge in ogni punto al valore della serie. Naturalmente non è detto che la serie converga in ogni punto; può accadere che la convergenza valga per un insieme finito di punti ma non totalmente (in questo caso la funzione non converge alla serie).

A questo punto vi riporto alcuni esempi classici di sviluppi centrati in $ x_0 $, delle principali funzioni trigonometriche, esponenziali e polinomiali.

Sviluppi di Taylor$ \sim$Mc-Laurin fondamentali

$$ e^x = 1 + x + {x^2 \over 2} + {x^3 \over 6} + \ldots + {x^k \over k!} = \sum_{k=1}^\infty {x^k \over k!} $$

$$ e^x = 1 + x + {x^2 \over 2} + {x^3 \over 6} + \ldots + {x^k \over k!} = \\ = \sum_{k=1}^\infty {x^k \over k!} $$

$$ e^x = 1 + x + {x^2 \over 2} + \\ + {x^3 \over 6} + \ldots + {x^k \over k!} = \\ = \sum_{k=1}^\infty {x^k \over k!} $$

$$ \cos x = 1 - {x^2 \over 2} + {x^4 \over 4!} + \ldots + {x^{2k} \over 2k!} = \sum_{k=1}^\infty {x^{2k} \over 2k!} $$

$$ \cos x = 1 - {x^2 \over 2} + {x^4 \over 4!} + \ldots + {x^{2k} \over 2k!} = \\ = \sum_{k=1}^\infty {x^{2k} \over 2k!} $$

$$ \cos x = 1 - {x^2 \over 2} + \\ + {x^4 \over 4!} + \ldots + {x^{2k} \over 2k!} = \\ = \sum_{k=1}^\infty {x^{2k} \over 2k!} $$

$$ \sin x = x - {x^3 \over 2} + {x^5 \over 5!} + \ldots + {x^{2k+1} \over (2k+1)!} = \sum_{k=1}^\infty {x^{2k+1} \over (2k+1)!} $$

$$ \sin x = x - {x^3 \over 2} + {x^5 \over 5!} + \ldots + {x^{2k+1} \over (2k+1)!} = \\ = \sum_{k=1}^\infty {x^{2k+1} \over (2k+1)!} $$

$$ \sin x = x - {x^3 \over 2} + \\ + {x^5 \over 5!} + \ldots + {x^{2k+1} \over (2k+1)!} = \\ = \sum_{k=1}^\infty {x^{2k+1} \over (2k+1)!} $$

Come esempio riporto i grafici degli sviluppi del seno, del coseno e dell'esponenziale rispettivamente arrestati ai primi termini della serie. Notate come il comportamento dell'ennesimo polinomio tanto più si avvicina al grafico reale, tanto più il grado del polinomio aumenta.

Esponenziale

$${\Large \sum_{k=1}^4 {x^k \over k!} }$$

Coseno

$${\Large \sum_{k=1}^4 {x^{2k} \over 2k!} }$$

Seno

$${\Large \sum_{k=1}^4 {x^{2k+1} \over (2k+1)!} }$$

$$ \diamond $$

Il resto della serie

Come anticipato, l'arbitrarietà della scelta dei termini nella serie, causa un'approssimazione anziché un'uguaglianza netta della funzione con la serie. A tal proposito, è possibile calcolare i cosiddetti resti della serie secondo diversi approcci.

Anzitutto vediamo cos'è un resto. Si chiama resto $ n+1$-esimo della serie di Taylor, la differenza tra la funzione e la serie (troncata al termine $ n$-esimo) esso si indica in questo modo:

$$ \mathrm{R_{n+1}}(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n{1 \over k!}f(x_0)^{(k)}(x-x_0)^n $$

$$ \mathrm{R_{n+1}}(x) $$ $$ \downarrow $$ $$f(x) - \sum_{k=0}^n{1 \over k!}f(x_0)^{(k)}(x-x_0)^n $$

E' naturale, che la funzione, è sviluppabile in serie di Taylor se accade che: quando $ n \rightarrow \infty$ il resto tende a zero. Ci sono diversi teoremi sulla convergenza delle serie di Taylor, come ad esempio il teorema di Bernstein, che in questa sede non dimostrerò, ma che in altri contesti ed altri corsi, vedremo più in dettaglio; tuttavia, le formule per gli sviluppi che ora riporto di seguito, rappresentano il traguardo della teoria degli sviluppi di Taylor.

Resto di Lagrange

$$ \mathrm R_{n+1}(x) = {(x-x_0)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}(\xi) $$

La formula di Taylor col resto di Lagrange Ci permette sostanzialmente, di stimare il resto della serie di Taylor in termini relativi all'approssimazione (tanto più piccolo è il resto, tanto migliore è l'approssimazione). In sostanza è una sorta di indicatore dell'errore commesso nell'approssimazione più preciso rispetto alla versione classica secondo Peano, ma il prezzo da pagare è che c'è bisogno che la funzione sia derivabile $ n+1$ volte in un intorno di $ x_0$. Quello che si fa, è considerare l'intervallo $ [x_0, x]$ dove $ x_0$ rappresenta il punto in cui stiamo sviluppando la funzione, mentre $ x$ è un punto generico diverso da $ x_0$. In questo intervallo, consideriamo un punto $ \xi \in \mathbb [x_0, x] $ esso rappresenta il valore econdo cui viene valutato il resto.

Resto di Cauchy

$$ \mathrm R_{n+1}(x) = {(x-\xi)^{n} \over n!}(x-x_0)f^{(n+1)}(\xi) $$

$$ \mathrm R_{n+1}(x) $$ $$ \downarrow $$ $$ {(x-\xi)^{n} \over n!}(x-x_0)f^{(n+1)}(\xi) $$

Questa versione è molto simile alla formula secondo Lagrange, l'unica differenza sta nel termine che contiene $ \xi$ che compare come polo nel termine che moltiplica $ f$, ma ne parleremo più approfonditamente nei corsi di Analisi UNO.

$$ \langle The \cdot End \rangle $$