Consideriamo l'insieme delle funzioni continue e periodiche \( C_{\small LOOP}[-\pi, \pi] \) nell'intervallo \( [-\pi, \pi] \), cioè tale per cui \(f(-\pi) = f(\pi) \).
Consideriamo una funzione \( f \in C_{\small LOOP}[-\pi, \pi] \), quasi ovunque derivabile tale che \(f'\in L_2[-\pi, \pi]\). Per questa funzione scriviamo la somma parziale M-esima:
Vogliamo dimostrare la convergenza uniforme della serie di fourier di \(f\) ad \(f\).
$$ S_M = \xi_0c_0 + \sum_{n=1}^M\biggl[\xi_n^c c_n + \xi_n^s c_s\biggr] $$
$$ \Downarrow $$
$$ S_M = {1\over 2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)dy + {1\over\pi}\sum_{n=1}^M\biggl[cos(nx)\int_{-\pi}^{\pi}cos(ny)f(y)dy + sin(nx)\int_{-\pi}^{\pi}sin(ny)f(y)dy\biggr] = $$
$$ = {1\over 2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)dy + {1\over\pi}\sum_{n=1}^M\biggl[ \int_{-\pi}^{\pi}cos[n(x-y)]f(y)dy\biggr] = $$
Dalle formule di Eulero
per le funzioni trigonometriche possiamo scrivere:
$$ = {1\over 2\pi}\sum_{n=-M}^M\int_{-\pi}^{\pi}e^{in(x-y)}f(y)dy $$
$$ \diamond $$
Nucleo di Dirichlet
Si definisce Nucleo di Dirichlet (di grado o ordine \(M\)) la seguente espressione:
$$ D_M(x-y) = {1\over 2\pi}\sum_{n=-M}^M\biggl(e^{i(x-y)}\biggr)^n $$
E' facile mostrare che valgono le seguenti proprietà:
- Funzione pari: \(D_M(\zeta) = D_M(-\zeta) \)
- Funzione periodica: \(D_M(\zeta+2\pi) = D_M(\zeta) \)
- Normalizzazione ad uno: \( \int_{-\pi}^{\pi}D_M(\zeta) d\zeta = 1 \)
in modo da pervenire ad una forma piu compatta del nucleo: $$ \small = {e^{-iM(x-y)}\over 2\pi}\sum_{n=1}^{2M}\biggl(e^{i(x-y)}\biggr)^n = {e^{-iM(x-y)}\over 2\pi}{1 - e^{-i(x-y)(2M+1)}\over 1 - e^{i(x-y)}} $$ $$ = {1\over 2\pi}{1 - e^{-i(M+{1\over 2})(x-y)}e^{i(M+{1\over 2})(x-y)} \over e^{-{i\over 2}(x-y)} - e^{{i\over 2}(x-y)}} = $$ $$ = {sin\left[(M+{1\over 2})(x-y)\right] \over sin\left[{x-y\over 2}\right]} $$ $$ \diamond $$
Ritornando alla serie, possiamo scrivere la nostra \(S_M(x)\) nel modo seguente:
$$ S_M(x) = \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(y)dy $$
Se calcoliamo la distanza:
$$ |f(x) - S_M(x)| = \left| f(x) - \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(y)dy \right| = $$
$$ \small = \left| \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(x)dy - \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(y)dy \right| = \left| f(x) \overset{1}{\overbrace{\int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)dy}} - \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)f(y)dy \right| = $$
$$ = \left| \int_{-\pi}^{\pi}D_M(x-y)(f(x)-f(y)dy \right| = $$
Per la periodicità del nucleo e di \(f\):
ponendo \(z = y-x\)
$$ = \left| \int_{-\pi}^{\pi}D_M(z)(f(x)-f(z+x)dz \right| = $$
$$\small = \left| \int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}{sin\left[(M+{1\over 2})z\right] \over sin\left[{z\over 2}\right]} \biggl(f(x)-f(z+x)dz \biggr)\right| = $$
$$ \small = \left| \int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}sin(Mz) { f(x)-f(z+x)\over tan\left({z\over 2}\right)}dz + \int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}cos(Mz)\biggl(f(x)-f(z+x) \biggr)dz \right| \leq $$
$$ \small \leq \left| \int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}sin(Mz) { f(x)-f(z+x)\over tan\left({z\over 2}\right)}dz\right| + \left|\int_{-\pi}^{\pi} {1\over 2\pi}cos(Mz)\biggl(f(x)-f(z+x) \biggr)dz \right| $$
Questi due termini moduli si possono
interpretare come coefficienti di Fourier speciali:
$$ {\sqrt\pi \over 2} |\Xi_M^S| + {\sqrt\pi \over 2} |H_M^C|$$
Siccome \( \lim_{M\to\infty}\Xi_M^S = 0\) e \( \lim_{M\to\infty}H_M^C = 0\) allora \(\forall x \in[-\pi, \pi] \) sia che:
$$ \lim_{M\to\infty}|f(x)-S_M(x)| = 0 $$
$$ \square $$
