Consideriamo l'insieme delle funzioni continue e periodiche \( C_{\small LOOP}[-\pi, \pi] \) nell'intervallo \( [-\pi, \pi] \), cioè tale per cui \(f(-\pi) = f(\pi) \).
Consideriamo una funzione \( f \in C_{\small LOOP}[-\pi, \pi] \), quasi ovunque derivabile tale che \(f'\in L_2[-\pi, \pi]\). Per questa funzione scriviamo la somma parziale M-esima: $$ S_M = \xi_0c_0 + \sum_{n=1}^M\biggl[\xi_n^c c_n + \xi_n^s c_s\biggr] $$ Vogliamo dimostrare che la successione: \( \{ S_n\}_{n\in \mathbb N} \) è uniformemente di Cauchy, ed inoltre che essa converge puntualmente ad \(f\). $$ \lim_{M\to\infty}S_M(x) = f(x) \hspace{5mm} \forall x \in[-\pi, \pi] $$ Questo è sufficiente a mostrare che la successione delle somme paraziali converge uniformemente ad \(f\). In sostanza il segno di uguale (\( \color{#990000}{=} \)) di seguito, va inteso nel senso della convergenza uniforme: $$ f \color{#990000}{=} \xi_0c_0 + \sum_{n=1}^\infty\biggl[\xi_n^c c_n + \xi_n^s c_s\biggr]$$

$$ \diamond $$
Uniforme convergenza di Cauchuy

Vale anzitutto la serie di implicazioni (funzione periodica implica funzione \(L_2\) implica Identità di Parseval): $$ f \in C_{\small LOOP}[-\pi, \pi] \Rightarrow f \in L_2[-\pi, \pi] $$ $$ \Downarrow $$ $$ |\xi_0|^2 + \sum_{n=1}^\infty|\xi_n^c|^2 + \sum_{n=1}^\infty|\xi_n^s|^2 = \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2 dx $$

Questo implica che le due serie \( \small \sum_{n=1}^\infty|\xi_n^c|^2 < \infty\) e \( \small \sum_{n=1}^\infty|\xi_n^s|^2 < \infty \) sono convergenti. Siccome anche la derivata di \(f\) per ipotesi è: \( f'\in L_2[-\pi, \pi] \), per essa sarà valida l'Identità di Parseval, cerchiamo quindi di ricavare le medesime condizioni come fatto per la \(f\): Scriviamo anzitutto i coefficienti di Fourier per la \(f'\) che indicheremo con \( \eta \): $$ \eta_0 = \langle c_0, f' \rangle = {1\over \sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx = {f(\pi)-f(-\pi) \over \sqrt{2\pi}} \xrightarrow{\small f \hspace{1mm} periodica} 0 $$ $$ \small \eta_n^c = \langle c_n, f' \rangle = {1\over \sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)f'(x)dx = {cos(nx)f(x) \over \sqrt\pi}|_{-\pi}^{\pi} + {n\over\sqrt\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sin(nx)f(x)dx = n\xi_n^s $$ $$ \small \eta_n^s = \langle c_s, f' \rangle = {1\over \sqrt{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}sin(nx)f'(x)dx = {sin(nx)f(x) \over \sqrt\pi}|_{-\pi}^{\pi} + {n\over\sqrt\pi}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)f(x)dx = -n\xi_n^c $$

L'Identità di Parseval sarà allora: $$ |\eta_0|^2 + \sum_{n=1}^\infty|\eta_n^c|^2 + \sum_{n=1}^\infty|\eta_n^s|^2 = \int_{-\pi}^{\pi}|f'(x)|^2 dx = $$ $$ \small = \sum_{n=1}^\infty n^2|\xi_n^s|^2 + \sum_{n=1}^\infty n^2|\xi_n^c|^2 = \int_{-\pi}^{\pi}|f'(x)|^2 dx $$ Di coneguenza, allo stesso modo le due serie \(\small \sum_{n=1}^\infty n^2|\xi_n^s|^2 <\infty\) e \(\small \sum_{n=1}^\infty n^2|\xi_n^c|^2 <\infty\) saranno convergenti, e quindi possiamo concludere che sicuramente saranno valide le relazioni \( \forall n \in \mathbb N\): $$ \small \begin{cases} 0 \leq \biggr[ n|\xi_n^c|-{1\over n} \biggl]^2 \\ 0 \leq \biggr[ n|\xi_n^s|-{1\over n} \biggl]^2 \end{cases} = \begin{cases} 0 \leq n^2|\xi_n^c|^2 -2n|\xi_n^c|{1\over n} + {1\over n^2} \\ 0 \leq n^2|\xi_n^s|^2 -2n|\xi_n^s|{1\over n} + {1\over n^2} \end{cases} = $$ $$ = \begin{cases} 2|\xi_n^c| \leq n^2|\xi_n^c|^2 + {1\over n^2} \\ 2|\xi_n^s| \leq n^2|\xi_n^s|^2 + {1\over n^2} \end{cases} $$ Passando alle serie, possiamo concludere che anch'esse saranno convergenti $$ \begin{cases} \sum_{n=1}^\infty|\xi_n^c| \leq {1\over 2}\sum_{n=1}^\infty n^2|\xi_n^c|^2 + {1\over 2}\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2} < \infty \\ \sum_{n=1}^\infty|\xi_n^s| \leq {1\over 2}\sum_{n=1}^\infty n^2|\xi_n^s|^2 + {1\over 2}\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2} < \infty \end{cases} $$

Di conesguenza, le successioni associate delle somme parziali (o ridotte), saranno automaticamente fondamentali (e così anche la somma delle due): $$ \sum_{n=1}^M|\xi_n^c| \hspace{5mm} \sum_{n=1}^M|\xi_n^s| $$ $$ \Downarrow $$ $$ \sum_{n=1}^M\biggl[|\xi_n^c| +|\xi_n^s| \biggr] (\small fondamentale) $$ $$ \diamond $$

Riprendiamo la somma parziale della serie di Fourier di \(f \), consideriamo due valori \(M\) ed \(M'\) e supponiamo che \(M'>M\) e considerimo il seguente modulo della differenza: $$ | S_{M'}(x) - S_M(x) | = \left| \sum_{n=M+1}^{M'}\biggl[\xi_n^c c_n + \xi_n^s c_s\biggr] \right| \leq $$ $$ \leq \sum_{n=M+1}^{M'}\biggl[|\xi_n^c| {|cos(nx)| \over \sqrt\pi} + |\xi_n^s| {|sin(nx)| \over \sqrt\pi} \biggr] \leq {1\over \sqrt\pi} \sum_{n=M+1}^{M'}\biggl[ |\xi_n^c| +|\xi_n^s| \biggr] $$ Questa quantità, essendo parte di una successione fondamentale, esisterà sempre un certo \( \epsilon > 0 \) maggiorante, ad esempio sarà sempre possibile rendere valida questa diseguaglianza per ogni coppia di \(M\) ed \(M'\): $$ \sum_{n=M+1}^{M'}\biggl[ |\xi_n^c| +|\xi_n^s| \biggr] \leq \epsilon\sqrt\pi $$ $$ \Downarrow $$ $$ | S_{M'}(x) - S_M(x) | < \epsilon \hspace{5mm} \forall x \in[-\pi, \pi] $$ Passando al "sup" $$ \underset{x \in[-\pi, \pi]}{sup}| S_{M'}(x) - S_M(x) | = ||S_{M'} - S_M||_F < \epsilon $$

In pratica abbiamo mostrato che la successione delle somme parziali di Fourier è uniformemente di Cauchy