Introduzione

Introduzione al corso: concetto intuitivo di tensore.

Rango, tipo, covarianza e controvarianza

Rango di un tensore, tipo, indici covarianti e controvarianti.

La convenzione di Einstein: indici muti e liberi

Convenzione di Einstein sugli indici ripetuti. Concetto di indice muto e libero.

Trasformazioni di Coordinate: Lo Jacobiano

Trasformazione di coordinate. Matrice Jacobiana e determinante jacobiano

Coordinate Polari

Definizione delle coordinate polari. Calcolo dello Jacobiano polare.

Coordinate Cilindriche

Definizione delle coordinate cilindriche. Calcolo dello Jacobiano cilindrico.

Coordinate Sferiche

Definizione delle coordinate sferiche. Calcolo dello Jacobiano sferico.

La Delta di Kronecker \(\delta_{ij}\)

Definzione della delta di Kronecker. Regola della derivata. Regola del cambio dell'indice. Esempi.

Il Tensore di Levi-Civita \(\epsilon_{ijk}\)

Definizione del simbolo di Levi-Civita. Permutazioni pari e dispari. Regola del prodotto vettoriale.

Calcolo del Prodotto triplo con \(\epsilon_{ijk}\)

Esercizio: calcolo del prodotto triplo vettoriale mediante l'opratore di Levi-Civita \(\epsilon_{ijk}\).

CAMPO TENSORIALE Definizione generale di Tensore

Definizione della legge generale di trasformazione di un tensore.

VETTORE CONTROVARIANTE

Definizione del vettore controvariante (1-Tensore). Legge di trasformazione. Esempio velocità vettoriale

VETTORE COVARIANTE

Definizione del vettore covariante (1-Tensore). Legge di trasformazione. Esempio gradiente

Tensori Doppi

Legge di trasformazione dei tensori doppi e misti.

Somma Tensoriale

Definzinizione di somma tra tensori.

Prodotto tensore per scalare

Definizione del prodotto di un tensore per uno scalare

CONTRAZIONE tensoriale

Contrazione tensoriale sugli indici ripetuti

PRODOTTO ESTERNO

Prodotto esterno tra tensori. Definizione e proprietà

LEGGE DEL QUOZIENTE

Legge del quoziente tra due tensori. Definizione e proprietà

Metrica Riemanniana su varietà

Definizione ed esempi di metriche riemanniane euclidee

SPAZIO TANGENTE in R3

Spazio tangente superficie in R3

TENSORE METRICO

Caratteristiche e proprietà del tensore metrico fondamentale

Il Tensore Metrico CONIUGATO \(g^{ij} \)

Proprieta del tensore metrico inverso coniugato

LUNGHEZZA di una CURVA

Lunghezza di una curva in uno spazio riemanniano

TENSORI ASSOCIATI

Regole dei tensori associati: innalzamento ed abbassamento degli indici

Magnitude in uno spazio Riemanniano

Modulo di un vettore in uno spazio riemanniano

Angolo tra due vettori

Angolo tra due vettori in uno spazio riemanniano

Componenti Controvarianti e Covarianti

Differenza tra componenti controvarianti e covarianti

Simboli di Christoffel 1

Simboli di Christoffel di Prima specie \([ij,k]\)

Simboli di Christoffel 1

Simboli di Christoffel di Seconda specie \( {ij,k} \)

Proprietà dei simboli di CHRISTOFFEL

Proprietà dei simboli di CHRISTOFFEL

Trasformazione simboli di Christoffel 1

LEgge di trasformazione dei Simboli di Christoffel di Prima specie

Trasformazione simboli di Christoffel 2

LEgge di trasformazione dei Simboli di Christoffel di Seconda specie

DERIVATA seconda di Christoffel

DERIVATA seconda di Christoffel

DERIVATA COVARIANTE

Definizione della derivata covariante

DERIVATA COVARIANTE covettore

Esempio derivata covariante su un campo di covettori

Divergenza Covariante

Definizione della divergenza in analisi tensoriale

Divergenza Covariante (cilindrica)

Definizione della divergenza (cilindrica) in analisi tensoriale

LAPLACIANO COVARIANTE

Definizione del laplaciano in analisi tensoriale

DERIVATA COVARIANTE in uno SPAZIO PIATTO

Esempio derivata covariante in uno spazio piatto

GEODETICHE - Equazione delle geodetiche

GEODETICHE - Equazione delle geodetiche

Le avventure di Gauss

Prma forma fondamentale e gometria intrinseca

CONNESSIONE Affine KOSZUL

Definizione di connessione affine (Koszul)