Le formule di Eulero ci consentodo di dare un ulteriore significato alle funzioni \( \sin \) e \( \cos \). Consideriamo le 2 formule di Eulero
$${\large e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) }$$
$${\large e^{-i \theta} = \cos(\theta) - i \sin(\theta) }$$
Mettiamo entrambe le formule a sistema, costruendo un sistema di Eulero, in cui le incognite da determinare sono appunto \( \sin \) e \( \cos \).
$${\large
\begin{cases}
e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \\
e^{-i \theta} = \cos(\theta) - i \sin(\theta)
\end{cases}
}
$$
Per risolverlo possiamo provare a sommare le equazioni (il termine \( i \sin(\theta) \) essendo uguale ed opposto si puo elidere ). Per contro se proviamo a sottrarre
le due equazioni, questa volta i termini che vanno via sono \( \cos(\theta) \) (essendo uguali nella sottrazione si elidono). Il tutto รจ mostrato di seguito.
$$
\begin{array}{rrr}
& e^{i \theta} = &\cos(\theta) & + i \sin(\theta) +\\
& e^{-i \theta} = & \cos(\theta) & - i \sin(\theta)\\
\hline
& e^{i \theta} + e^{-i \theta} = & 2 \cos(\theta) & + 0
\end{array}
$$
$$ \downarrow $$
$$ { \large \cos(\theta) = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta} } {2}} $$
Sommando entrambi i membri delle equazioni i termini \( i \sin(\theta) \) si elidono
essendo uguali ed opposti, ottenendo un'espressione per il coseno in termini di esponenziali complessi.
$$
\begin{array}{rrr}
& e^{i \theta} = &\cos(\theta) & + i \sin(\theta) -\\
& e^{-i \theta} = & \cos(\theta) & - i \sin(\theta)\\
\hline
& e^{i \theta} - e^{-i \theta} = & 0 + & 2i \sin(\theta)
\end{array}
$$
$$ \downarrow $$
$$ { \large \sin(\theta) = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta} } {2i}} $$
Sottraendo entrambi i membri delle equazioni (equavale a moltiplicare per \( -1 \) e sommare) i termini \( \cos(\theta) \) si elidono
essendo uguali ed opposti, ottenendo un'espressione per il seno in termini di esponenziali complessi.