Quoziente
Abbiamo visto come fare la somma, la differenza ed il prodotto. Come possiamo definire il quoziente di due numeri complessi? Si ricordi che nell'aritmetica ordinaria è possibile dividere per qualsiasi numero, purchè sia diverso da zero \( (\neq 0) \). Consideriamo come sempre, due numeri complessi \( z_1 \) e \( z_2 \). Esprimiamoli mettendo in evidenza parte reale e parte immaginaria: $$ {\large z_1 = a + ib \hspace{3cm} z_2 = c + id } $$
Inverso di un numero complesso
Prima di definire il quoziente di due numeri complessi dobbiamo calcolare l'inverso di un numero complesso. Consideriamo \( z_1 \) e cerchiamo di determinare il suo inverso. Sappiamo, in generale, che dato un numero \( z_1 \) l'inverso di \( z_1 \) che indicheremo come \( z_1^{-1} \) oppure come \( \frac{1}{z_1} \) ha la proprietà tale per cui se ne effettuaimo il prodotto con \(z_1\) otteniamo l'elemento neutro del prodotto. $$ {\large z_1z_1^{-1} = 1 }$$ Ora noi sappiamo che \( z_1 = a+ib \) e che l'unità complessa si può esplicitare come \( 1+i0 \). Se vogliamo determinare parte reale \( Re(z_1^{-1}) = x \) e parte immaginaria \( Im(z_1^{-1}) = y \) dell'inverso \( z_1^{-1} = x+iy \), dobbiamo imporre che il prodotto di \(z_1\) con \( z_1^{-1} \) sia l'unità: $${\large (a+ib)(x+iy) = (1+i0) }$$ e quindi secondo la definizione di prodotto complesso dobbiamo imporre che valgano le seguenti condizioni sulle incognite \(x \) ed \(y\): $$ \begin{cases} ax-by = 1 \\ bx+ay = 0 \end{cases} $$
Risolviamo ora il sistema: moltiplichiamo la prima equazione per \( -b \) e la seconda per \( a\) $$ \begin{cases} -abx+b^2y = -b \\ abx+a^2y = 0 \end{cases} $$ Sommiamo le due equazioni e ricaviamo \(y\): $$ (a^2 + b^2)y = -b \rightarrow y = \frac{-b}{(a^2 + b^2)} $$ Adesso sostituiamo \(y\) in una qualunque equazione ad es. nella prima e ricaviamoci \(x\):\( ax-by = 1 \hspace{5mm}\) \( \rightarrow \hspace{5mm} ax -b \left( \frac{-b}{a^2+b^2} \right) = 1 \) \(\hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} ax + \left( \frac{b^2}{a^2+b^2} \right) = 1 \)
\(\hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x = \frac{1 - \left( \frac{b^2}{a^2+b^2} \right)}{a} \) \( = \frac{1}{a} - \frac{b^2}{a(a^2+b^2)} \) \( = \frac{a^2 + b^2 - b^2}{a(a^2+b^2)} \)
\( \require{cancel} = \frac{a^{\bcancel{2}} + \bcancel{b^2} - \bcancel{b^2}}{\bcancel{a}(a^2+b^2)} \) \( = \frac{a}{a^2+b^2} = x \)
Morale della favola: abbiamo finalmente trovato l'inverso di \(z_1\) e cioè: $$ z_1^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2} -i\frac{b}{a^2+b^2} $$ Notate che l'espressione ottenuta è della forma \( (\cdot) + i(\cdot) \) ossia, ha una struttura di numero complesso. Del resto ce lo dovevamo aspettare l'inverso di un numero complesso è sempre un numero complesso diverso da zero; inoltre nei denominatori compare sempre la stessa quantità reale positiva \( a^2 + b^2 \) che come vedremo nelle prossime sezioni quando parleremo del coniugato di un numero complesso, assumerà un ruolo centrale.
Se proviamo ora ad effettuare il prodotto di \(z_1z_1^{-1} \) $$ (a+ib)\left( \frac{a}{a^2+b^2} -i\frac{b}{a^2+b^2} \right) $$ otteniamo come risultato (secondo la definizione appena vista di prodotto di numeri complessi):
Ora che abbiamo determinato l'espressione dell'inverso, se vogliamo fare il quoziente di \(z_1\) e \(z_2\) (che indicheremo come \( \frac{z_1}{z_2} \) ), possiamo operare il prodotto del primo per l'inverso del secondo: \(z_1z_2^{-1}\); quindi avremo che: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a+ib}{c+id} = $$