Il prodotto di numeri complessi è un'operazione un pò più articolata rispetto alle altre almeno nella forma cartesiana. Quando parleremo della forma esponenziale vedremo che il prodotto ed altre operazioni risulteranno assai più semplici. Consideriamo due numeri complessi \( z_1 \) e \( z_2 \). Esprimiamoli mettendo in evidenza parte reale e parte immaginaria: $$ z_1 = a + ib \hspace{3cm} z_2 = c + id $$

Il prodotto di due numeri complessi si ottiene moltiplicando come segue. Il complesso risultante sarà costituito da una parte reale (prodotto delle parti reali meno prodotto delle parti immaginarie) e da una parte immaginaria (prodotto della parte reale del primo per la parte immaginaria del secondo più prodotto della parte immaginaria del primo per la parte reale del secondo). $$ z_1z_2 = z = (ac-bd) + i(ad+bc) $$

La dimostrazione di questa formula è molto semplice. Bisogna trattare i due numeri come se fossero dei binomi ricordando pero che vale \( i^2 = -1 \); infatti avremo che: $$ {\large (a+ib)(c+id) } = $$ $$ = ac + iad + ibc + i^2bd = $$ $$ = (ac-bd) + i(ad+bc) \hspace{5mm}_{\square} $$
Notate che il numero risultante è sempre della forma \( Re(z) + iIm(z) \) solo che adesso \( Re(z) = ac-bd \) ed \( Im(z) = ad+bc \).