Nella nostra descrizione geometrica di numero complesso nel piano di Gauss abbiamo impiegato le cosiddette coordinate cartesiane o (rettangolari) \( (x,y) \). In alternativa è possibile utilizzare le coordinate polari \( (\rho, \theta) \). In questo caso, il numero reale \( \rho > 0 \) (che si chiama modulo o norma e si indica spesse volte come \( |z| \) ) misura la distanza dall'origine e l'angolo \( \theta \) (detto argomento, fase o anomalia), misura l'angolo che la retta dall'origine al punto \( z \), stabilisce con l'asse reale in senso "antiorario".

formule di trasformazione

$$ \begin{cases} x = Re(z) = \rho\cos\theta \\ y = Im(z) = \rho\sin\theta \\ \end{cases} $$

$$ \rho = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{Re^2(z)+Im^2(z)} $$

$$ \theta = tan^{-1}\frac{y}{x} $$

Facciamo ora un pò di chiarezza sulle formule di trasformazione. \( \rho = \sqrt{x^2+y^2} \) esprime il Teorema di Pitagora nel piano complesso. Nella figura in alto, se consideriamo il triangolo rettangolo \( Oxz \), è facile verificare quanto detto rispetto al modulo (radice quadrata di parte reale al quadrato sommato a parte immaginaria al quadrato); inoltre l'espressione della tangente dell'angolo \( \theta \) è \( \tan\theta = \frac{y}{x} \) da cui invertendo la tangente si ricava l'angolo \( \theta \). Resta solo da osservare che l'arcotangente è invertibile solo se \( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \), quindi se l'angolo \( \theta \) non rientra nel suddetto intervallo vi è ambiguità in \( \tan^{-1} \), quindi a \( \theta \) può essere aggiunto un qualunque multiplo intero di \( 2\pi\), mantenendo comunque inalterata la validità della relazione.

Possiamo ora definire la forma trigonometrica di un numero complesso \(z\). Secondo quanto detto vale la seguente relazione:

$$ {z = \rho\cos\theta + i \rho\sin\theta} \rightarrow $$ $$ \color{#008080}{\Large z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)} $$