Con l'introdizione dei numeri complessi in particolare di \( i \) abbiamo esteso il campo dei numeri reali \({\large {\mathbb R } }\) a \({\large {\mathbb C } }\); infatti ora l'equazione \( x^2 = -1 \) ammette le due soluzioni complesse e coniugate \( \pm i \)

In realtà abbiamo fatto molto di più! Ora qualunque equazione di secondo grado della forma generale \( (\clubsuit) \) ammette soluzioni in \({\large {\mathbb C } }\) $$ (\clubsuit) \hspace{1cm} ax^2 + bx + c = 0 $$

Per dimostrarlo, partiamo dalla \( (\clubsuit) \) e cerchiamo di giungere ad una formula ove compare \( i \). Faremo uso del metodo del completamento del quadrato per giungere alla formula risolutiva dell'equazione di 2° grado ^[1]. Partiamo dalla formula generale.

Trasportiamo ora i termini noti a destra ed i termini con la \( x \) a sinistra applicando il primo principio di equivalenza delle equzioni ed eventualmente cambiando il segno quando si trasporta un termine.

A questo punto entra in scena il completamento del quadrato: Cosa manca a sinistra per avere un quadrato di binomio perfetto? Abbiamo un termine quadro \( x^2 \) ed un termine in \( x \) pari a \( \frac{b}{a}x \). In un quadrato di binomio ci sono due termini al quadrato ed un termine "doppio-prodotto", dobbiamo cercare di capire quale dei tre termini ci manca per "completare il quadrato".In questo modo possiamo estrarre la radice e risolvere^[2]. Abbiamo già in possesso il quadrato di \(x \) e questo ci deve far intuire che il binomio da cercare sarà della forma \( (x + ?)^2 = x^2 + \cdots \). Risulta evidente che il termine \( \frac{b}{a}x \) deve essere il doppio-prodotto del primo termine per un secondo termine(da determinare) del binomio, di conseguenza bisogna aggiungere solo un termine quadro^[3].

Per capire cosa aggiungere risolviamo il quadrato del binomio speciale \( {\large (x + \frac{b}{2a})^2 } \)

$$ {\large \left (x + \frac{b}{2a} \right)^2 = x^2 + 2 \frac{b}{2a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = } $$ $$ {\large = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} } \hspace{1cm} (\heartsuit) $$

Se ora confrontiamo il primo membro della \( (\diamond) \) con il secondo membro della \( (\heartsuit) \) ossia con lo sviluppo del binomio, ci accorgiamo che essi differiscono per il termine quadro \( \frac{b^2}{4a^2} \). Ciò vuol dire che se aggiungiamo alla \( (\diamond) \) il termine \( \frac{b^2}{4a^2} \), otteniamo un quadrato perfetto dalla quale ne possiamo fare l'estrazione di radice. Effettuamo il completamento (aggiungendo e sottraendo la medesima quantità per ottenere una espressione equiavlente).

$$ x^2 + \frac{b}{a}x + \color{green}{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}} = - \frac{c}{a}$$ $$ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$$ Ed ecco che a sinistra compare il quadrato del binomio, che possiamo riscrivere: $$ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$$ $$ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $$ Estraendo la radice quadrata si ottiene: $$ \left( x + \frac{b}{2a} \right) = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} } $$ $$ x_{1,2} = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} } $$ Ed infine estraendo la radice al denominatore e portando i termini al medesimo denominatore comune ottenuamo la ben nota formula risolutiva dell'equazione di 2° grado: $$ {\large x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a} }$$

Ora entrano in gioco i numeri complessi

La formula in alto, come ricorderete dalle vostre avventure con la matematica alle scuole superiori, vale in campo reale se solo se la quantita sotto radice \( b^2 - 4ac \) chiamata in gergo tecnico il discriminante dell'equazione indicato molto spesso con \( \Delta \) è \( \geq 0 \), questo perchè le radici in \( \mathbb R \) si possono estrarre solo quando il radicando e positivo o nullo. in basso sono riportati i due casi ammessi in \( \mathbb R \)

Studiamo ora il caso singolare in cui il discriminante è negativo. Supponiamo quindi di considerare la formula nell'ambito dei numeri complessi in cui vale la relazione fondamentale \( \sqrt{-1} = i \) avremo:

Fate attenzione all'espressione in alto: siccome sappiamo a priori che \( (b^2-4ac) < 0 \) possiamo raccogliere il segno \( - \) ottenendo che \( -(-b^2+4ac) < 0 \) quindi \( (-b^2+4ac) > 0 \)

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{(-1)(-b^2+4ac)}}{2a} $$ $$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{(-1)}\sqrt{(-b^2+4ac)}}{2a} $$ Applicando ora la relazione \( \sqrt{-1} = i \) troviamo finalmente le soluzioni complesse e coniugate: $${\large x_{1,2} = \frac{-b \pm i \sqrt{(4ac-b^2)}}{2a} }$$